四川省绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学（理）试题 扫描版含答案

绵阳市高2014级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CDABA ABDDC BB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2 14．4 15．120 16．9 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解 ：（Ⅰ）把(a+c)2=b2+3ac整理得，a2+c2-b2=ac， 由余弦定理有cosB=， ∴ B=． ………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)△ABC中，A+B+C=π，即B=π-(A+C)，故sinB=sin(A+C)， 由已知sinB+sin(C-A)=2sin2A可得sin(A+C)+sin(C-A)=2sin2A， ∴ sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA， 整理得cosAsinC=2sinAcosA． ………………………………………………7分 若cosA=0，则A=， 于是由b=2，可得c=， 此时△ABC的面积为S==． ………………………………………9分 若cosA≠0，则sinC=2sinA， 由正弦定理可知，c=2a， 代入a2+c2-b2=ac整理可得3a2=4，解得a=，进而c=， 此时△ABC的面积为S==． ∴ 综上所述，△ABC的面积为． ……………………………………12分 18．解：(Ⅰ)补全的列联表如下： 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 于是a=100，b=20，c=60，d=20， …………………………………………4分 ∴ >2.072， 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． ………………6分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为10%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵ X~B(3，0.1)，X=0，1，2，3， ∴ ，，，， ∴ X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ∴ X的数学期望．………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点． ………………………………………………………2分 证明：连接PN， ∵ N是AD的中点，P是FE的中点， ∴ PN//AF， 又PN平面MNC，AF平面MNC， ∴ 直线AF平面MNC．………………5分 ∵ PE//AD，AD//BC， ∴ PE//BC， ∴ ．………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知PN⊥AD， 又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD，PN面ADEF， 所以PN⊥面ABCD． …………………………………………………………8分 故PN⊥ND，PN⊥NC．………………………………………………………9分 以N为空间坐标原点，ND，NC，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N-xyz， ∵ ∠ADC=，AD=DC=2， ∴ △ADC为正三角形，NC=， ∴ N(0，0，0)，C(，0，0)，D(0，1，0)，E(0，1，1)， ∴ =(0，1，1)，=(，0，0) ，=(0，0，1)，=(，-1，0) ， 设平面NEC的一个法向量n1=(x，y，z)，则由n1 =0，n1 =0可得 令y=1，则n1=(0，1，-1) ． 设平面CDE的一个法向量n2=(x1，y1，z1)，则由n2 =0，n2 =0可得 令x1=1，则n2=(1，，0) ． 则cos< n1，n2>==， 设二面角N-CE-D的平面角为θ，则sinθ==， ∴ 二面角N-CE-D的正弦值为．………………………………………12分 20．解：(Ⅰ)由题意知，|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6>|EF|=4， 故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a=3，短半轴长为b=， ∴ 曲线C的方程为：． …………………………………………4分 (Ⅱ)由题知F(2，0)， 若直线AB恰好过原点，则A(-3，0)，B(3，0)，N(0，0)， ∴ =(-3，0)，=(5，0)，则m=， =(3，0)，=(-1，0)，则n=-3， ∴ m+n=． ………………………………………………………………2分 若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0， A(ty1+2，y1)，B(ty2+2，y2)，N(0，-)． 则=(ty1+2，y1+)，=(-ty1，-y1)， =(ty2+2，y2+)，=(-ty2，-y2)， 由，得 ... ...