3.4 函数的应用(Ⅱ) 自主整理 1.指数函数型增长的函数模型 指数函数y=ax(a>1)经复合可得到的指数型函数，指数型变化较快，例如生活中经常接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型. 指数型增长随底数不同而不同. 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄. 2.对数函数型增长的函数模型对数函数y=logax(a>1)经复合可得到对数型函数，对数型增长特点是先快后慢. 如经济学家马尔萨斯提出的人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年增长率.到了很多年以后，人口增长的就很慢了.这种增长模型与直线型和指数爆炸型以及幂函数型增长都不同，增长趋势是先快后慢，最后几乎不大变化了. 3.幂函数型增长的函数模型 幂函数y=xn(n>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快.例如球的体积V随半径R的增大而变化的关系就是幂函数的关系，体积是半径的函数V=πR3. 随着x的增大，若y=xn(n>0)比起y=ax(a>1)增长速度来，是后者增长得快. 高手笔记 1.在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果基础量为a，平均增长率为r，则对于时间x的总量y＝a（1＋r）x，解决平均增长率的问题，可用此公式建立函数式. 2.在构建函数模型的过程中，如果涉及的变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解的办法去找出变量间较为简单的对应关系，再解决较为复杂的函数模型间的关系.同时要注意借助于图形的直观性去寻找问题的答案.3.由于“递增率”问题多抽象为指数函数形式，而由指数函数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一.4.数据拟合模型是指根据试题所给出的一组相关数据，根据数据所呈现的特点选择比较适当的函数来近似地模拟所给数据之间的对应关系，这种模拟是粗略的,只能起到估算作用.一般来说,需要根据所给的数据描出其在坐标系中的散点图，从图象上观察并选择适当的函数，最后还需要检验. 名师解惑 1.幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？ 剖析：一般地,对于指数函数 y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间（0,＋∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有ax>xn.同样地，对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间（0,＋∞）上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时,就会有logax
1)、y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax
