高中数学苏教版必修四课时训练：3.1　两角和与差的三角函数3.1.3

3．1.3　两角和与差的正切 课时目标 1．能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用． 1．两角和与差的正切公式 (1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝_____. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝_____. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝_____. tanα·tanβ＝_____. (2)T(α－β)的变形： tanα－tanβ＝_____. tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝_____. tanαtanβ＝_____. 一、填空题 1.＝_____. 2．已知α∈，sinα＝，则tan的值等于_____． 3．若sinα＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tanβ的值是_____． 4．已知tan＝2，则的值为_____． 5．已知tanα＝，tanβ＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是_____． 6．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC的形状是_____三角形． 7．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于_____． 8．在△ABC中，角C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为_____． 9．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0两根，则＝_____. 10．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝_____. 二、解答题 11．在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以21世纪教育网Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 求tan(α＋β)的值； 能力提升 13．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝. (1)求证：tanA＝2tanB； (2)设AB＝3，求AB边上的高． 1．公式T(α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)． 2．公式T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan＝1，tan＝，tan＝等． 要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝. 3．公式T(α±β)的变形应用 只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路． 3．1.3　两角和与差的正切 知识梳理 1．(1)　(2) 2．(1)tan(α＋β)(1－tanαtanβ)　tan(α＋β) 1－　(2)tan(α－β)(1＋tanαtanβ) tan(α－β)　－1 作业设计 1．－　2.　3.－7 4. 解析　∵tan＝2， ∴＝2， 解得tanα＝. ∴＝ ＝＝＝. 5. 6．钝角 解析　tanA＋tanB＝，tanA·tanB＝， ∴tan(A＋B)＝，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－， ∴C为钝角． 7．1 解析　原式＝tan10°tan20°＋tan20°＋tan10° ＝(tan10°＋tan20°＋tan10°tan20°) ＝tan30°＝1. 8. 解析　tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝， ∴tan(A＋B)＝＝， 即＝，解得tanA·tanB＝. 9．－ 解析　＝ ＝＝＝－. 10．1 解析　tanβ＝＝. ∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα. ∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1. ∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ. ∴＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解　由tanB＋tanC＋tanBtanC＝， 得tanB＋tanC＝(1－tanBtanC)． ∴tan(B＋C)＝＝， 又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝. 又tan A＋tan B＋1＝tan Atan B， ∴tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)， ∴tan(A＋B)＝＝－， 而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π， ∴A＝，B＝C＝.∴△ABC为钝角等腰三角形． 12．解　由条件得cosα＝，cosβ＝. ∵α，β为锐角，∴sinα＝＝， sinβ＝＝. 因此tanα＝＝7，tanβ＝＝. tan(α＋β)＝＝＝－3. 13．解　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，)． ∵ta ... ...