§1.7.1定积分在几何中的简单应用 教学目标： 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积； 教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数．教学过程设计 （一）、复习引入，激发兴趣。 【教师引入】展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 油画图片 问：桥拱的面积如何求解呢？ (二)、探究新知，揭示概念 【热身训练】练习１．计算 ２．计算 【学生活动】思考口答 【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案. 【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积 图1 图2 （三）、分析归纳，抽象概括 探究由曲线所围平面图形的面积解答思路 （四）、知识应用，深化理解 例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1）， 面积S=，所以= 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与 x 轴的交点． 解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积． 解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) . 直线与x轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S1+S2 . 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 课堂练习 如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h， 宽为常数b． 求证：抛物线拱的面积 （五）、归纳小结、布置作业 解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标．2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数） 4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 布置作业： 0 y x x y N M O a b A B C D x y N M O a b A B C D x y O A B C D 1 1 -1 -1 a b X A 0 y A2 a b 曲边梯形（三条直边，一条曲边） a b X A 0 y 曲边形 面积 A=A1-A2 a b 1 x y O A B C D 1 1 -1 -1 x y O A B C D 1 1 -1 -1 h b§1.7.1定积分在几何中的简单应用 教学目标： 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 教学重点： 曲边梯形面积的求法； 教学难点：定积分在物理中应用． 教学过程设计 （一）、复习引入，激发兴趣。 【教师引入】1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ (二)、探究新知，揭示概念 变力作功 一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs . 探究 (1)求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间上的定积分，即 （2）．变 ... ...
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