2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷） 理科数学解析 1．D 【解析】 2．C 【解析】1是方程的解，代入方程得 ∴的解为或，∴ 3．B 【解析】设顶层灯数为，，，解得． 4．B 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 5．A 【解析】目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为． 6．D 【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作． 由此把4份工作分成3份再全排得 7．D 【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话． 甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩． 8．B 【解析】，，代入循环得，时停止循环，． 9．A 【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为 得，，． 10．C 【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为） 可知，， 作中点，则可知为直角三角形． ， 中， ， 则，则中， 则中， 又异面线所成角为，则余弦值为． 11．A 【解析】， 则， 则，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 则极小值为． 12．B 【解析】几何法： 如图，（为中点）， 则， 要使最小，则，方向相反，即点在线段上， 则， 即求最大值， 又， 则， 则． 解析法： 建立如图坐标系，以中点为坐标原点， ∴，，． 设， ，，， ∴ 则其最小值为，此时，． 13． 【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中， 则 14． 【解析】 令且 则当时，取最大值1． 15． 【解析】设首项为，公差为． 则 求得，，则， 16． 【解析】则，焦点为，准线， 如图，为、中点， 故易知线段为梯形中位线， ∵，， ∴ 又由定义， 且， ∴ 17. 【解析】（1）依题得：． ∵， ∴， ∴， ∴， （2）由⑴可知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18． 【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件 “新养殖法的箱产量不低于”为事件 而 （2） 箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 由计算可得的观测值为 ∵ ∴ ∴有以上的把握产量的养殖方法有关． （3）， ， ，∴中位数为． 19．【解析】 （1）令中点为，连结，，． ∵，为，中点，∴为的中位线，∴． 又∵，∴． 又∵，∴，∴． ∴四边形为平行四边形，∴． 又∵，∴ （2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系． 设，则，，，，， ． 在底面上的投影为，∴．∵， ∴为等腰直角三角形． ∵为直角三角形，，∴． 设，，．∴． ．∴． ∴， ，．设平面的法向量． ，∴ ，．设平面的法向量为， ． ∴． ∴二面角的余弦值为． 20． ⑴设，易知 又 ∴，又在椭圆上． ∴，即． ⑵设点，，， 由已知：， ， ∴， ∴． 设直线：， 因为直线与垂直． ∴ 故直线方程为， 令，得， ， ∴， ∵， ∴， 若，则，，， 直线方程为，直线方程为， 直线过点，为椭圆的左焦点． 21． ⑴ 因为，，所以． 令，则，， 当时，，单调递减，但，时，； 当时，令，得． 当时，，单调减；当时，，单调增． 若，则在上单调减，； 若，则在上单调增，； 若，则，． 综上，． ⑵ ，，． 令，则，． 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，． 因为，，，， 所以在和上，即各有一个零点． 设在和上的零点分别为，因为在上单调减， 所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点． 因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点． 所以，有唯一的极大值点． 由前面的证明可知，，则． 因为，所以，则 又，因为，所以． 因此，． 22． 【解析】⑴设 则． 解得，化为直角坐标系方程为 ． ⑵连接，易知为正三角形． 为定值． ∴当高最大时，面积最大， 如 ... ...
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