学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝ ( ) A．4 B．－4 C．－2 D．2 【解析】 由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D. 【答案】 D 2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( ) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0 C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在 【解析】 切线的斜率为k＝－2， 由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C. 【答案】 C 3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( ) A．(1,1) B．(－1,1) C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8) 【解析】 因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2. 由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1. 当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1. 故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C. 【答案】 C 4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 【解析】 设切点为(x0，y0)， ∵f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4， ∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A. 【答案】 A 5．曲线y＝在点处的切线的斜率为( ) A．2 B．－4 C．3 D. 【解】 因为y′＝ ＝ ＝ ＝－， 所以曲线在点处的切线斜率为 k＝－4，故选B. 【答案】 B 二、填空题 6．已知函数y＝f(x)的图象如图1 1 3所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是_____(填序号)． 图1 1 3 【解析】 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合． 【答案】 ② 7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是 _____. 【解析】 因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝ ＝ (Δx－4)＝－4， 所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0. 【答案】 4x＋y－2＝0 8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是_____． 【解析】 设P(x0，y0)，则 y′＝ ＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2. 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0， 所以点P处的切线的斜率为2， 所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)． 【答案】 (0,0) 三、解答题 9．已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程． 【解】 由方程组得x2－2x＋1＝0， 解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1,4)，又＝Δx＋2. 当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k＝2， 所以切线方程为y－4＝2(x－1)， 即y＝2x＋2. 10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程． 【解】 y′＝ ＝ ＝2x. 设所求切线的切点为A(x0，y0)． ∵点A在曲线y＝x2上， ∴y0＝x， 又∵A是切点， ∴过点A的切线的斜率k＝2x0， ∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率为＝. ∴2x0＝， 解得x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25. [能力提升] 1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于 ( ) A．2 B．－1C．1 D．－2【解析】 依导数定义可求得，y′＝3x2＋a，则由此解得所以2a＋b＝1，选C. 【答案】 C 2．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( ) A．2 B．－1 C．1 D．－2【解析】 ∵ ＝ ＝－1， ∴ ＝－2，即f′(1)＝－2. 由导数的几何意义 ... ...
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