21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 §3.2 一元二次不等式的解法 回顾过去 形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 1．因式分解后分类讨论解一元二次不等式 在初中，我们学习过“符号法则 -- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，若一元二次不等式左边可以因式分解，则可将其转化为一元一次不等式组．21教育网 【例1】解不等式． 解：原不等式可以化为：， 于是：或 所以，原不等式的解集是． 说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2) 分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：，即 于是：， 所以原不等式的解是． (2) 原不等式可化为：，即 于是： 所以原不等式的解是． 2． 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 以二次函数为例： (1) 作出图象； (2) 根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，．就是说对应的一元二次方程的两实根是．21世纪教育网版权所有 (3) 当时，，对应图像位于轴的上方． 就是说的解集是． 当时，，对应图像位于轴的下方． 就是说的解集是． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 【例3】解下列不等式： (1) (2) (3) （4） 解：(1) 不等式可化为 ∴ 不等式的解集是． (2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解集是． (3) 不等式可化为，所以无解． （4）不等式可化为 ∴ 不等式的解集是． 归纳小结：若，是一元二次方程的两个根，且，则有： （1） （2）或 练习1．解下列不等式 （1） （2） （3） （4） 解：(1) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是； (2) 不等式可化为，∴ 不等式的解集是； (3) 不等式可化为，即，∴ 不等式的解集是； （4）不等式可化为 ∴ 不等式的解是． 练习2．解下列不等式 （1）； （2）． 解：(1) 不等式可化为 ，∴ 不等式的解集是； （2）的根为，∴ 不等式的解集是； 练习3．不等式的解是_____． 解： 练习4．若，则不等式的解是_____． 解： 【例4】已知不等式的解为，求和的值，并解不等式． 解：依题意，和是方程的两根， 方法1：由韦达定理，∴ ，，解得，． 方法2：直接代入方程得，，解得， ∴ 不等式为，解得或． ∴ 不等式的解集为． 练习5．设一元二次不等式的解为，则的值是（ ） A． B． C． D． 解：C 【例5】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围． 解：显然时，不合题意，于是： ． 练习1．已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围． 解：显然时，不恒为正数，不合题意，于是： ． 【例6，选做】解关于的不等式：． 解：原不等式对应的一元二次方程为：，， 当时，，原不等式无解； 当时，对应一元二次方程的两个解为：， 所以的解为： 综上所述，时，原不等式无解； 当时，原不等式的解为：． 1．解下列不等式： （1） （2） （3） （4） 2．不等式的解是_____． 3．不等式的解是_____． 4．不等式的解是_____． 5．若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 ． 6．已知不等式的解是，则_____． 7．已知不等式的解集是，则_____． 8．不等式的解集为，则的解是_____． 9．已知一元二次方程，求下列各条件下，实数的取值范围． （1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个 ... ...
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