2018高考数学考点突破--椭　圆（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 椭　圆 【考点梳理】 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【考点突破】 考点一、椭圆的定义与标准方程 【例1】　(1) 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆　 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 (2) 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0|OF|. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆． (2)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c， 则F1(－c,0)，F2(c,0)． ∵AF2⊥x轴，则A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0|F1F2|这一条件． (2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|的整体代换． 2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式． 【对点训练】 1. 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝_____. 2. 已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为_____． [答案] 1. 3　 2. ＋＝1 [解析] 1. 由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且⊥， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2. ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝9，因此b＝3. 2. 依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)． 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3， ∴点A必在椭圆上， ∴＋＝1.① 又由c＝1，得1＋b2＝a2.② 由①②联立，得b2＝3，a2＝4. 故所求椭圆C的方程为＋＝1. 考点二、椭圆的几何性质 【例2】　已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. [答案] A [解析] 法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝，从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝. 同理，OE的中点N的纵坐标yN＝. ∵2yN＝yE，∴＝，即2a－2c＝a＋c， ∴e＝＝. 法二：如图，设OE的中点为N，由题意知 |AF|＝a－c ... ...