第23讲 矩形、菱形、正方形（二） 【知识梳理】 1.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 2. 正方形的性质： ⑴四条边都相等； ⑵四个角都是直角； ⑶对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角； ⑷正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 3. 正方形判定定理： ⑴邻边相等的矩形是正方形； ⑵有一个角是直角的菱形是正方形。 【考点解析】 考点一：正方形的判定和性质 【例1】（2017广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【考点】LE：正方形的性质． 【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB， 在△AFD和△AFB中， ， ∴△AFD≌△AFB， ∴S△ABF=S△ADF，故①正确， ∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC， ∴===， ∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF， 故②③错误④正确， 故选C． 【例2】（2017.湖南怀化）如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）求∠AED的度数． 【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质． 【分析】（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明； （2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形， ∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°， ∴∠ABE=∠ECD=30°， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）． （2）∵BA=BE，∠ABE=30°， ∴∠BAE==75°， ∵∠BAD=90°， ∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°， ∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°． 考点二、有关特殊平行四边形的综合运用 【例3】（2017四川南充）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB． （1）求证：EF⊥AG； （2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？ （3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，求△PAB周长的最小值． 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，证出，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可； （2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论； （3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG，则EG∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出=，证出=，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°， ∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB． ∴=， =， ∴， ∴△AEF∽△BAG， ∴∠AEF=∠BAG， ∵∠BAG+∠EAO=90°， ∴∠AEF+∠EAO=90°， ∴∠AOE=90°， ∴EF⊥AG； （2）解：成立；理由如下： 根据题意得： =， ∵=， ∴， 又∵∠EAF=∠ABG， ∴△AEF∽△BAG， ∴∠AEF=∠BAG， ∵∠BAG+∠EAO=90°， ∴∠AEF+∠EAO=90°， ∴∠AOE=90°， ∴EF⊥AG； （3）解：过O作MN∥AB，交AD于 ... ...
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