三角形 考点解读 了解三角形的有关概念，并探索其性质。会证三角形全等 能运用有关三角形的知识解决问题。 3、重点、易错点分析： 4、通过证明线段或角相等来考虑三角形的性质和判定；运用勾股定理解决实际问题，三角形中重要线段的性质和判定。确定边长的取值范围时，容易忽略是不是能构成三角形；等腰三角形注意解的不唯一性。 考题解析 1．如图，已知△ABC，AB=AC，∠A=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E、F．给出以下四个结论： ①AE=CF； ②EF=AP； ③△EPF是等腰直角三角形； ④S四边形AEPF=S△ABC 上述结论始终正确的有（） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【考点】KY：三角形综合题． 【分析】连接AP，判断出△APE≌△CPF，可得①③结论正确，同理证明△APF≌△BPE，即可得到④正确； 【解答】解：连接AP，EF， ∵AB=AC，∠A=90°， ∴AP⊥BC， ∴∠APC=90°， ∴∠APF+∠CPF=90°， ∵∠EPF=∠APE+∠APF=90°， ∴∠APE=∠CPF， 在等腰直角三角形ABC中，AP⊥BC， ∴∠BAP=∠CAP=∠C=45°，AP=CP， 在△APE和△CPF中， ∴△APE≌△CPF， ∴S△APE=S△CPF，AE=CF，PE=PF， ∵∠EPF=90°， ∴△EPF是等腰直角三角形； 即：①③正确； 同理：△APF≌△BPE， ∴S△APF=S△BPE， ∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△ABC， 即：④正确； ∵△△EPF是等腰直角三角形， ∴EF=PE， 当PE⊥AB时，AP=EF，而PE不一定垂直于AB， ∴AP不一定等于EF， ∴②错误； 故选C． 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π．其中错误结论的个数是（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】KY：三角形综合题． 【分析】①正确．连接CD．只要证明△ADE≌△CDF（SAS），即可解决问题． ②错误．当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形． ③错误．四边形CEDF的面积=S△ABC=××4×4=4，为定值． ④错误．以EF为直径的圆的面积的最小值=π （ 2）2=2π． 【解答】解：连接CD，如图1， ∵∠C=90°，AC=BC=4， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A=∠B=45°， ∵D为AB的中点， ∴CD⊥AB，CD=AD=BD， ∴∠DCB=∠B=45°， ∴∠A=∠DCF， 在△ADE和△CDF中 ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴ED=DF，∠CDF=∠ADE， ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°， ∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确； 当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE， ∴CE=CF=DE=DF， 而∠ECF=90°， ∴四边形CDFE是正方形，所以②错误； ∵△ADE≌△CDF， ∴S△ADE=S△CDF， ∴S四边形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC=S△ABC=××4×4=4，所以③错误； ∵△CEF和△DEF都为直角三角形， ∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上， ∵△DEF是等腰直角三角形， ∴EF=DE， 当DE⊥AC时，DE最短，此时DE=AC=2， ∴EF的最小值为2， ∴以EF为直径的圆的面积的最小值=π （ 2）2=2π，所以④错误； 故选C． 3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（） A． B． C． D． 【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义． 【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值． 【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4， ∴cos∠B==． 故选B． 4．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交 ... ...
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