2018高考数学（文）热点题型训练--三角函数与解三角形（精练）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 三角函数与解三角形 1.函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间上最大值和最小值. 解　(1)由题得，f(x)的最小正周期为π，y0＝3. 当y0＝3时，sin＝1， 由题干图象可得2x0＋＝2π＋， 解得x0＝. (2)因为x∈， 所以2x＋∈. 于是：当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0； 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3. 2.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值. 解　(1)在△ABC中，由＝， 可得asin B＝bsin A， 又由asin 2B＝bsin A， 得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B， 又B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos B＝，得B＝. (2)由cos A＝，A∈(0，π)，得sin A＝， 则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)， 所以sin C＝sin ＝sin A＋cos A＝. 3.设函数f(x)＝sin＋2sin2(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.21世纪教育网版权所有 (1)求函数f(x)的解析式； (2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求b，c的值.21cnjy.com 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx ＝sin ωx－cos ωx＋1＝sin＋1. ∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π， ∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1. ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin＋1. (2)由f(A)＝，得sin＝. 又∵A∈(0，π)，∴A＝. ∵S＝bcsin A＝6，∴bcsin ＝6，bc＝24， 由余弦定理，得a2＝(2)2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24. ∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6. 4.已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋1－(ω＞0)的周期为π. (1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间； (2)将f(x)的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h(x)的图象，若h(x)为奇函数，求φ的最小值.21·cn·jy·com 解　(1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋1－＝ sin ωx＋2×＋1－ ＝sin ωx＋cos ωx＋1＝2sin(ωx＋)＋1. 又函数f(x)的周期为π，因此 ＝π，∴ω＝2. 故f(x)＝2sin＋1. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)由题意可知h(x)＝2sin， 又h(x)为奇函数，则2φ＋＝kπ， ∴φ＝－(k∈Z).∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值. 5. 已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝ (2sin B，－)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，且m∥n. (1)求锐角B的大小； (2)如果b＝2，求S△ABC的最大值. 解　(1)∵m∥n， ∴2sin B＝－cos 2B， ∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－. 又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)， ∴2B＝，∴B＝. (2)∵B＝，b＝2， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得a2＋c2－ac－4＝0. 又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4， 当且仅当a＝c＝2时等号成立. 故S△ABC＝acsin B＝ac≤， 当且仅当a＝c＝2时等号成立， 即S△ABC的最大值为. 6.已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边 分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值.21教育网 解　(1)f(x)＝2 cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函数y＝f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1， ∴cos＝－1， 又＜2A＋＜，∴2A＋＝π，即A＝. ∵a＝， ∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.① ∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线， ∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，② 由①②得 ... ...