课件42张PPT。第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量一 变换的不变量———矩阵的特征向量1.掌握矩阵的特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义. 2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).1231231231231232.特征向量的性质 设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则对任意的非零常数k,kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量. 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线. 名师点拨1.如果k是非零常数,则kξ≠0,由于A(kξ)=kAξ=k(λξ)=(kλ)ξ=λ(kξ),所以kξ是矩阵A的属于特征值λ的特征向量. 2.从几何直观上看,如果ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,那么与ξ共线的所有非零向量都是A的属于这个特征值λ的特征向量. 3.不是每个二阶矩阵都有特征向量和特征值.1231231231231231231231231231231.矩阵的特征值与特征向量的含义是什么? 剖析:ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则Aξ=λξ,其中 使得向量ξ变为λξ,即变为与向量ξ共线的向量λξ,当λ>0时,所得向量λξ与ξ同向;当λ<0时,所得向量λξ与ξ反向;当λ=0时,所得向量λξ为零向量.也就是存在特征值λ和特征向量ξ,在线性变换A的作用下,只让向量ξ发生了伸缩变换.既然是伸缩变换,则kξ也发生了伸缩变换,所以kξ也是属于特征值λ的特征向量.2.求二阶矩阵特征值和特征向量的简要步骤是什么? 剖析:(1)设矩阵A的特征值为λ,特征向量为ξ,则Aξ=λξ; (2)将上述矩阵形式的方程改写为普通方程组,并合并同类项; (3)把得到的方程组改写为齐次线性方程组的矩阵形式; (4)令齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为0,解出λ的值; (5)将λ的值分别代入齐次线性方程组解出特征向量.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思特征值与特征向量是相伴出现的,特征向量只属于一个特征值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思根据特征值与特征向量的意义列出所求量的函数关系式是解决此类题的基本途径.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四12345123451234512345123451234512345123451234512345课件26张PPT。二 特征向量的应用1.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单的表示,并能用它来解决问题. 2.会利用特征向量解决简单的实际问题.121.Anα的简单表示 设A是一个二阶矩阵,α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量,则Anα=λnα(n∈N*). 名师点拨由此可把矩阵的乘方转为实数的乘方,比较简便.1212122.性质 设λ1,λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值,ξ1,ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1,λ2的特征向量,对于任意的非零平面向量α,设α=t1ξ1+t2ξ2(其中t1,t2为实数),则对任意的正整数n,有 名师点拨由于ξ1和ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1,λ2的特征向量,所以ξ1与ξ2不共线,由平面向量的基本定理,知平面内的任意一个非零向量α都可以用ξ1和ξ2表示出来,即存在两个实数t1,t2使α=t1ξ1+t2ξ2,也就是α可以用特征向量表示出来.12121.设二阶矩阵A的两个特征值λ1,λ2对应的两个特征向量分别为ξ1,ξ2,σ为二阶矩阵A对应的线性变换,α为平面内的任意一个向量,那么Anα(n∈N*)能否用ξ1和ξ2表示出来呢? 剖析:因为ξ1,ξ2是二阶矩阵A的两个特征向量,所以ξ1,ξ2不共线, 则平面内的任意一个向量α就可以用ξ1,ξ2表示出来,即存在实数t1,t2使得α=t1ξ1+t2ξ2,Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2. 所以σ α=Aα=A(t1ξ1+t2ξ2)=t1(Aξ1)+t2(Aξ2)=t1λ1ξ1+t2λ2ξ2, σ2α=A2α=A(Aα)=A(t1λ1ξ1+t2λ2ξ2)=t1λ1(Aξ1)+t2λ2(Aξ2)2.求An ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
