【备考2018】高考数学真题精讲精练专题3.7解三角形应用举例（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)： 3.7解三角形应用举例 考纲剖析 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 知识回顾 1．距离的测量 背景 可测元素 图形 目标及解法 两点均可到达 a，b，α 求AB： 只有一点可到达 b，α，β 求AB： 两点都不可到达 a，α，β，γ，θ 求AB： 2.高度的测量 背景 可测元素 图形 目标及解法 底部可到达 a，α 求AB： 底部不可到达 a，α，β 求AB： 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角(如图1)． (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 精讲方法 一、应用举例 （一）与距离有关的问题 1、一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；21世纪教育网版权所有 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 2、解斜三角形应用题常有以下几种情形： （1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之； （2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；21cnjy.com （3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。21·世纪*教育网 （二）与高度有关的问题 1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角； 2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图； 3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。 （三）与角度有关的问题 1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义； 2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。2-1-c-n-j-y （四）与三角形面积有关的问题 （1）对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；21*cnjy*com （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化； （3）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用。 真题精析 一、选择题 1．（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于 A． B． C． D． 二、填空题 2．（2014新课标Ⅰ）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____． 3、（2014?浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是_____．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角） 21*cnjy*com 4.(2015·湖北高考)如图3-7-6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在 ... ...