21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 第4讲新定义概念问题 所谓“新定义”型问题，主要是指在问 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等．要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新亮点. 解题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 考点1：定义新数 【典型例题】：（2017重庆B ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．21·世纪*教育网 （1）计算：F（243），F（617）； （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k= ，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【出处：21教育名师】 【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论； （2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k= 中，找出最大值即可．【版权所有：21教育】 【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9； F（617）=（167+716+671）÷111=14． （2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y， ∴F（s）=（302+10x+23 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )0+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．21教育名师原创作品 ∵F（t）+F（s）=18， ∴x+5+y+6=x+y+11=18， ∴x+y=7． ∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数， ∴ 或 或 或 或 或 ． ∵s是“相异数”， ∴x≠2，x≠3． ∵t是“相异数”， ∴y≠1，y≠5． ∴ 或 或 ， ∴ 或 或 ， ∴ 或 或 ， ∴k的最大值为 ． 【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元一次 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出F（243）、F（617）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程．21·cn·jy·com 【变式训练】： 新定义：[a，b，c]为函数y＝ (a，b，c为实数)的“关联数”．若“关联数”为 [m－2，m，1]的函数为一次函数，则m的值为 考点2：定义新运算 【典型例题】：（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法． （1）二次项系数2=1×2； （2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”； 1×3+2×（﹣1）=1 1×（ ﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5【来源：21cnj*y.co*m】【来源：21·世纪·教育·网】 （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1． 即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．21*cnjy*co ... ...
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