21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 第12讲相似三角形类问题 因动点产生的相似三角形问题，常常出现在综合题中． 一是以几何图形为载体，赋予动点、 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )动线和动面，来探究相似三角形问题，进而研究面积、函数最值等问题；二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问题；三是以相似三角形为背景，经历“问题情境，建立模型，求解，应用”的基本过程，设置探究性问题．问题设置常常具有开放性． 2-1-c-n-j-y【来源：21·世纪·教育·网】 相似三角形由于对应边、对应角的不确定 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，或者是图形的不确定，常常需要进行分类讨论，解题时根据对应角或对应边来分类．要注意确定分类标准，按一个标准进行分类，做到“不重复，不遗漏”． 考点1：利用三角形相似与图象的判断 【典型例题】：（2017.四川眉山）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣ ）是抛物线上另一点． （1）求a、b的值； （2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标； （3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．21*cnjy*com 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论； （2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2，得到OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，根据勾股定理得到AC= = ，①当PA=CA时，则OP1=OC=2，②当PC=CA= 时，③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到P3（0， ），④当PC=CA= 时，于是得到结论；【版权所有：21教育】 （3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到OM= ，求得抛物线的对称轴为直线x= = ，得到OG= ，求得GN=t﹣ ，根据相似三角形的性质得到HG= t﹣ ，于是得到结论． 【解答】解：（1）把A（3，0），且M（1，﹣ ）代入y=ax2+bx﹣2得 ， 解得： ； （2）在y=ax2+bx﹣2中，当x=0时．y=﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∴OC=2， 如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC= = ， ①当PA=CA时，则OP1=OC=2， ∴P1（0，2）； ②当PC=CA= 时，即m+2= ，∴m= ﹣2， ∴P2（0， ﹣2）； ③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上， 则△AOC∽△P3EC， ∴ = ， ∴P3C= ， ∴m= ， ∴P3（0， ）， ④当PC=CA= 时，m=﹣2﹣ ， ∴P4（0，﹣2﹣ ）， 综上所述，P点的坐标1（0，2）或（0， ﹣2）或（0， ）或（0，﹣2﹣ ）； （3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M， ∵NH∥AC， ∴ ， ∴ ， ∴OM= ， ∵抛物线的对称轴为直线x= = ， ∴OG= ， ∴GN=t﹣ ， ∵GH∥OC， ∴△NGH∽△NOM， ∴ ， 即 = ， ∴HG= t﹣ ， ∴S= ON GH= t（ t﹣ ）= t2﹣ t（0＜t＜3）． 【变式训练】： （2016·浙江省湖州市·4分）已 知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上． （1）k的值是 ﹣2 ； （2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y= 图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是 3 ．21世纪21世纪教育网有21世纪教育网版权所有 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义． 【分析】（1）设出点P的坐标，根据平 移的特性写出点Q的坐标，由 ... ...
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