阅读理解问题 （时间：40分钟，满分42分） 班级：_____姓名：_____得分：_____ 一、选择题（每题3分） 1. 13世纪数学家斐波那契的（计算书）中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ） A．42 B．49 C．76 D．77 【答案】C 【解析】 试题分析：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．依此即可求解．依题意有，刀鞘数为76． 2. 给出一种运算：对于函数，规定。例如：若函数，则有。已知函数，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：依题意，当时，，解得： 二、填空题（每题3分） 3. 在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②， ②一①得：3S―S＝39－1，即2S＝39－1， ∴S＝. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016的值？如能求出，其正确答案是_____. 【答案】. 【解析】 试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016 …………………①， 在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017 …………………② ②一①得：mS―S＝m2017－1. ∴S＝. 4.对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为 ． 【答案】（，）或（，）． 【解析】 试题分析：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，根据直线l：得：OM=，ON=3，由勾股定理得：MN==； ①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，由cos∠ABD=cos∠ONM=，∴，AB=，则AD=1，∵DG∥y轴，∴△MDG∽△MON，∴，∴，∴DG=，∴CG=+=，同理可得：，∴，∴DH=，∴C（，）； ②矩形在x轴上方时，同理可得：C（，）； 故答案为：（，）或（，）． 三、解答题（每题10分） 5. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0）． ①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； （2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 【答案】（1）①2；② 或 ；（2）1≤m≤5 或者． 【解析】 试题分析：（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积； ②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值； （2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围． 试题解析：（1）①∵A（1，0），B（3，1），由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1= ... ...
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