【备考2018】高考数学真题精讲精练专题8.9 圆锥曲线的热点问题（2013-2017）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）： 8.9 圆锥曲线的热点问题（答案） 知识回顾 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．2-1-c-n-j-y 即消去y后得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0 直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0 直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0 直线与圆锥曲线C无公共点． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．【来源：21cnj*y.co*m】 3．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. 例题精讲 考点一 直线与圆锥曲线位置关系 【变式训练1】已知点P（x，y）满足条件 ． （Ⅰ）求点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）直线l与圆O：x2+y2=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若 ，求直线l的斜率． 【来源：21·世纪·教育·网】 【答案】解：（Ⅰ）P（x，y）满足条件 ， 所以点P的轨迹是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆， 设椭圆方程为： （a＞b＞0） 由c=1， ， ∴所求点P的轨迹C的方程为 ． （Ⅱ）当l⊥x轴时，l：x=±1，代入曲线C的方程得 ， 不妨设 ， ， 这时 ， 所以直线斜率存在． 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 直线l的方程为y=kx+m， 由直线l与圆O：x2+y2=1相切，则 =1，即m2=k2+1， ∴ ，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0， ∵直线与曲线相交， ∵直线与曲线相交，则△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=144k2+96＞0成立， ∴ ， ， ∴ ， = ， = ， = ， = ，．则k2=3，k=± ． 则直线l的斜率± 【考点】直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可知P的轨迹是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求得b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程，由 =1，直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得直线l的斜率． 考点二　圆锥曲线中的定点、定值问题 【变式训练2】（2017辽宁辽南协作体模拟）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦点为F1 ， F2 ， 离心率为 ，点P为其上动点，且三角形PF1F2的面积最大值为 ，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使 =m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值． 2·1·c·n·j·y 【答案】（1）解：由题意可知椭圆的离心率e= = ，则a=2c， 当P位于短轴的端点时，△PF1F2的面积最大，即 ×2c×b= ，bc= ， 由a2=b2+c2 ， 则a=2，b= ，c=1， ∴椭圆的标准方程： （2）解：设M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2）， =x1x2+y1y2=m， 当直线MN到斜率存在时，设其方程：y=kx+b， 则点O ... ...