课件54张PPT。第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 主题1 平均变化率 1.写出气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数. 提示:体积V与半径r之间的关系式为V(r)= πr3.将半 径r表示为体积V的函数为r(V)= 2.当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了多少? 此时气球的平均膨胀率是多少?当空气容量V从1L增加 到2L呢? 提示:当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了 r(1)- r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 ≈0.62(dm/L).当空气容量V从1L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16(dm). 气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L).3.若运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是多少?运动员在1≤t≤2这段时间里的平均速度是多少?提示:在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是 在1≤t≤2这段时间里的平均速度是结论:平均变化率概念 我们把式子_____称为函数y=f(x)从__到__的平 均变化率.x1x2主题2 导数的概念 1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态? 提示:不能,如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起 跳时间t的函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,易知 而运动员依然是运动状态.2.如何精确描述物体在某一时刻的运动状态? 提示:可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运 动状态.如求t=2时的瞬时速度,可考察在t=2附近的一 个间隔Δt,当Δt趋近于0时,看平均速度 的变化趋势, 用式子 表示,这就是物体在t=2时的瞬 时速度.3.导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用? 提示:函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.结论:函数在某点处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 _____ 我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作 _____ 即f′(x0)= _____f′(x0)或y′|【微思考】 1.观察函数y=f(x)的图象,平均变化率 的几何意义是什么?平均变化率绝对值的大小与曲线的陡峭程度是否存在关系?提示:平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢,它表示割线的斜率. 函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.2.如何理解导数定义中的Δx,Δy, ? 提示:Δx表示自变量的增量,其值可正可负不能为零, Δy表示函数值的增量,其值可正可负可为零, 表示平 均变化率,其极限存在,则函数y=f(x)在某一点处可导, 否则不可导.【预习自测】 1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A.在[x0,x1]上的平均变化率 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化率 D.以上都不对【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在[x0,x1]上的平均变化率.2.质点运动规律s=t2+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于 ( ) A.6+Δt B.6+Δt+ C.3+Δt D.9+Δt【解析】选A. 3.设函数f(x)在x0处可导,则 ( ) A.f′(x0) B.f′(-x0) C.-f′(x0) D.-f′(-x0)【解析】选C. 4.已知函数f(x)=A(A为常数),则f′(2)=_____. 【解析】因为Δy=f(2+Δx)- f(2)=A-A=0, 所以 =0,f′(2)= 答案:05.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的月平均变化率是_____.【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平均变化率 为 =0.25(千克/月). 答案:0.25千克/月6.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时的瞬时速度,并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.【解析】(1)瞬时速度v= (2)因为s=2t2+3=s0+v0t+ at2, 所以v0=0cm/s, 因为 a=2,所以a ... ...
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