【北师大版】2017-2018学年高中数学必修4学业分层测评（22份，Word版，含答案）

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于(　　) A．－1　　　　　 B．0 C．1 D．2 【解析】　(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|·cos 60°－b2.又|a|＝1，|b|＝1，故(2a－b)·b＝1－1＝0. 【答案】　B 2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为(　　) A．1 B． C．2 D．3 【解析】　因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝a2－mb·a＝32－m×2×3×cos 60°＝9－3m＝0. 所以m＝3. 【答案】　D 3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝(　　) A．1 B．13 C．2 D．3 【解析】　因为|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2 ＝4×32－4×3×7×cos 180°＋72＝169， 所以|2a－b|＝13. 【答案】　B 4．(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　) A．20　　 B．15 C．9　　 D．6 【解析】　如图所示，由题设知： ＝＋＝＋， ＝－， ∴·＝· ＝||2－||2＋·－· ＝×36－×16＝9. 【答案】　C 5．(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A． B． C. D．π 【解析】　由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 【答案】　A 二、填空题 6．已知|a|＝1，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝_____. 【解析】　因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋9＝16. 所以2a·b＝－6，又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－6＋9＝4，即|a＋b|＝2. 【答案】　2 7．已知a⊥b，c与a，b的夹角均为60°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a－2b－c)2＝_____. 【解析】　(a－2b－c)2＝|a|2＋4|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋4b·c. ∵a⊥b，∴a·b＝0. a·c＝|a||c|cos 60°＝1×3×＝， b·c＝|b||c|cos 60°＝2×3×＝3， ∴原式＝1＋4×4＋9－2×＋4×3＝35. 【答案】　35 8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝_____. 【导学号：66470056】 【解析】　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 【答案】　－8或5 三、解答题 9．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，求a与b的夹角θ的范围． 【解】　由(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×32－2×42＋3a·b≥4，得a·b≥6， ∴cos θ＝＝≥＝. 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈. 10．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值． 【解】　∵a⊥b，∴a·b＝0， 又由已知得[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0， ∴－ka2＋t(t－3)b2＝0. ∵|a|＝2，|b|＝1， ∴－4k＋t(t－3)＝0， ∴k＝(t2－3t)＝2－(t≠0)． 故当t＝时，k取最小值－. [能力提升] 1．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－25 B．－20 C．－15 D．－10 【解析】　∵＋＋＝0，∴|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，∴·＋·＋·＝－25. 【答案】　A 2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　) A．1 B． C. D． 【解析】　∵c与a＋b共线，∴c＝λ(a＋b)， ∴|a＋c|2＝|a＋λ(a＋b)|2＝|(λ＋1)a＋λb|2 ＝(λ＋1)2＋λ2＋2λ(λ＋1)a·b ＝2λ2＋2λ＋1＋2λ(λ＋1)×cos 120° ＝λ2＋λ＋1 ... ...