21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 变量间的相关关系与独立性检验 【考点梳理】 1．回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是散点图；统计量有相关系数与相关指数． (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系． 2．线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变 量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，则＝＝，＝－.其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距． 3．残差分析 (1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x 2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为i＝yi－i＝yi－xi－，i＝1,2，…，n，i称为相应于点(xi，yi)的残差． (2)相关指数：R2＝1－. 4．独立性检验 (1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表， 称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为2·1·c·n·j·y y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则随机变量K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)． 【教材改编】 1．(必修3P101A组T8改编)改革开放以来，我国教育事业发展迅速，某省把近年来农村、县城、地级市和省城每年考入大学的百分比作为因变量，把年份作为自变量得到四条回归直线．21·世纪*教育网 省城，地级市， 县城，农村， 则四个区域中，大学入学率年增长率最快的区域是( ) A．省城 B．地级市 C．县城 D．农村 [答案] A [解析] 四条回归直线，斜率最大的是省城，故选A. 2．(必修3 P87内文改编)登山族为了了解某山高（百米）与气温（）之间的关系，随机统计了次山高与相应的气温，并制作了对照表． 气温（） 山高（百米） 由表中数据，得到线性回归方程（）．由此估计山高为（百米）处气温的度数为( ) A． B． C． D． [答案] C [解析] ，， 样本中心点为， 回归直线过样本中心点， ，即， 线性回归方程为， 山高为（百米）处气温的度数为，故选C. 3．(必修3P85探究改编)成年人体脂肪百分比与年龄的线性回归关系为，年龄增加一岁则脂肪百分比( )【来源：21·世纪·教育·网】 A．增加% B．增加% C．减少% D．减少% [答案] B [解析] ， ，故选B. 4．(选修1－2 P6例2改编)一只红铃虫的产卵y和温度x有关，根据收集的数据散点分布在曲线y＝c1的周围，若用线性回归模型建立回归关系，则应作下列哪个变换( ) A．t＝ln x B．t＝x2 C．t＝ln y D．t＝ey [答案] C [解析] 由y＝c1得c2x＝ln＝ln y－ln c1， 令t＝ln y，得t＝c2x＋ln c1，故选C. 5．(必修3 P95B组T1改编)某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.2-1-c-n-j-y 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.8 8.6 9 销量y(件) 90 84 83 75 80 68 回归方程为＝x＋，(其中已算出＝－20)； 该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为( ) A．6.5元/件 B．7.5元/件 C．8.5元/件 D．9.5元/件 [答案] C [解析] 依题意：＝(8＋8.2＋8.4＋8.8＋8. 6＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80. 又＝－20， ∴＝－＝80＋20×8.5＝250， ∴回归直线的方程为＝－20x＋250. 设科研所所得利润为W，设定价为x， ∴W＝(x－4.5 ... ...
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