2018高考数学教材改编典题精练--函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 【考点梳理】 1．“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图的一般步骤为： (1)定点：如下表所示． x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象． 2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 【教材改编】 1．(必修4 P57A组T1(1)改编)要得到函数y＝cos(x＋1)，x∈R的图象，只需把y＝cos x(x∈R)上的所有点(　　) A．向左平移π个单位长度 B．向右平移π个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 [答案] C [解析] 把y＝cos x(x∈R)上的所有点向左平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1) (x∈R)的图象，故选C． 2．(必修4 P55练习T2(1)改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需将y＝3sin的图象上的所有点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 [答案] D [解析] ∵y＝sin＝sin，故选D. 3．(必修4 P56练习T2(3)改编)为了得到y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点(　　) A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度 C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度 [答案] B [解析] 将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍，将y＝3sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B. 4．(必修4 P58A组T2(3)改编)函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin [答案] D [解析] 由题知T＝－＝， 得T＝π，故ω＝2，由2×＋φ＝，得φ＝，故选D. 5．(必修4 P143A组T5改编)f(x)＝sin＋cos的一条对称轴方程为(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝　 D．x＝ [答案] B [解析] 法一：f(x)＝sin＋cos ＝cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＋sin 2x ＝2cos， 由2x－＝kπ，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． 令k＝0，∴该函数的一条对称轴方程为x＝. 法二：f(x)＝sin＋ cos＝2cos， 代入验证可得当x＝时，2x－＝0， ∴f(x)max＝2. 故x＝为该函数的一条对称轴． 6．(必修4 P147A组T12改编)函数f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1，则常数a的值为(　　) A．－1 　 B．3 C．2 D．1＋ [答案] A [解析] f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a， 当sin＝1时，f(x)max＝2＋a， 又∵f(x)max＝1，∴a＝－1，故选A. 7．(必修4 P58A组T2(3)改编)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题： ①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos； ②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； ③y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称； ④它的图象可由y＝4cos 2x向右平移个单位得到． 其中正确的命题是_____(写出所有正确命题的序号)． [答案] ①④ [解析] 因为f(x)＝4sin＝4cos＝4cos，①正确；又函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝＝＝π，②错误；令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则2x＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，③错误；又y＝4cos 2x＝4sin ＝4sin，y＝4sin ＝4sin，又－＝，④正确． 8．(必修4 P71B组T8(2)改编)函数y＝sin (－3x＋)，x∈[0，π]，在区间[a，b](0