2018高考数学教材改编典题精练--平面向量的数量积及应用举例

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 平面向量的数量积及应用举例 【考点梳理】 1．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.2·1·c·n·j·y 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0. 【教材改编】 1．(必修4 P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b为(　　)21cnjy.com A．10 B．－10 C．10 D．－10 [答案] D [解析] a·b＝|a|·|b|cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×＝－10.故选D. 2．(必修4 P107例6改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为(　　) A．－4 B．4 C. D．－ [答案] A [解析] 由a·b＝－2，得 5×(－6)＋(－7)t＝－2， －7t＝28，∴t＝－4，故选A. 3．(必修4 P108A组T6改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　)21*cnjy*com A. B. C. D. [答案] D [解析] cos θ＝＝＝－. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝，故选D. 4．(必修4 P107练习T2改编)设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝(　　)21教育网 A．－6 B. C. D．10 [答案] D [解析] ∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b， ∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D. 5．(必修4 P119A组T10改编)已知△ABC的三个顶点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则最小角的余弦值为(　　)2-1-c-n-j-y A.　 B. C. D. [答案] B [解析] 由图可知，显然C为△ABC的最小角， ∵＝(3，－3)，＝(4，－2)，∴cos〈，〉＝ ＝＝. 6．(必修4 P105例3改编)已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° [答案] B [解析] (a＋2b)·(a－3b)＝－18， ∴a2－6b2－a·b＝－18， ∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a·b＝－18， ∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝， ∴〈a，b〉＝60°. 7．(必修4 P110例2改编)△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝1，＝2，则·＝_____.21世纪教育网版权所有 [答案] － [解析] 由＝2得 ＝. ∴·＝·(－)＝ ＝＝－. 8．(必修4 P106练习T3改编)若a ，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为_____．　21·世纪*教育网 [答案] 1 [解析] 由(a－c)·(b－c)≤0， 得a·b－a·c－b·c＋c2≤0，又a·b＝0， 且a，b，c均为单位向量，得－a·c－b·c≤－1， |a＋b－c|2＝(a＋b－c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b－a·c－b·c) ＝3＋2(－a·c－b·c)≤3－2＝1， 故|a＋b－c|的最大值为1. 9．(必修4 P108A组T3改编)已知|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝7，则a·b＝_____. [答案] 10 [解析] ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝22＋2a·b＋52＝29＋2a·b ∴29＋2a·b＝49， ∴a·b＝10. 10．(必修4 P113A组T4改编)平面 上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为_____．21·cn·jy·com [答案] N [解析] 根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋()2＋2×1××cos 45°＝5. ∴|F3|＝. 11．(必修4 P119B组T1(5)改编)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，求a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2的夹角．【来源：21·世纪·教育·网】 [解析] ∵|e1|＝|e2|＝1，且夹角θ＝60 ... ...