2018高考数学教材改编典题精练--双曲线

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 双曲线 【考点梳理】 1．双曲线的概念 (1)定义：平面内动点P与两个定点F1、 F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(0<2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．【来源：21·世纪·教育·网】 (2)集合：若集合P＝{M|||MF1|－ |MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中2c>2a>0，即c>a>0，则P点的轨迹是以F1、F2为两焦点的双曲线，且|F1F2|＝2c是双曲线的焦距．21·世纪*教育网 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 性质 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1 A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b(a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长) a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 【教材改编】 1．(选修2－1 P61A组T1改编)双曲线－＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为(　　) A．20 B．16 C．12 D．8 [答案] A [解析] 设P到另一个焦点的距离为d， 则|d－4|＝2×8＝16， ∴d＝20，故选A. 2．(选修2－1 P55练习T1(3)改编)双曲线C的焦点为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为(　　)2-1-c-n-j-y A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案] B [解析] 2a＝＝4. ∴a＝2，又c＝6， ∴b2＝c2－a2＝36－20＝16. ∴双曲线的标准方程为－＝1.故选B. 3．(选修2－1 P57内文改编)等轴双曲线的离心率为(　　) A. B. C．2 D．3 [答案] A [解析] 不妨设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2， ∴c2＝a2＋a2＝2a2，即c＝a， ∴e＝＝，故选A. 4．(选修2－1 P58例3改编)双曲线9y2－16x2＝144的一个焦点到一条渐近线的距离为(　　)21*cnjy*com A．3 B．4 C．5 D．6 [答案] A [解析] 双曲线方程即为－＝1，焦点F(0，±5)． 渐近线方程为y＝±x. 即4x±3y＝0. ∴F到渐近线的距离为d＝＝3，故选A. 5．(选修2－1 P42练 习T4改编)点A，B的坐标是(－1，0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则点M的轨迹为(　　)【来源：21cnj*y.co*m】 A.－y2＝1 B．x2－y2＝1 C．x2－＝1 D．x2－＝1(x≠±1) [答案] D [解析] 设点M的坐标为(x，y)， ∵点A，B的坐标是(－1,0)，(1,0)， ∴kAM＝(x≠－1)， kBM＝(x≠1)， 由已知·＝2， 化简得x2－＝1(x≠±1)． 6．(选修2－1 P55练习T2改编)与椭圆＋＝1有相同焦点，且一条渐近线为x＋y＝0的双曲线方程是(　　)21世纪教育网版权所有 A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案] A [解析] 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， ∵椭圆＋＝1的焦点为F(±4,0)． ∴a2＋b2＝16，① 又双曲线的渐近线为x＋y＝0， 即y＝－x. ∴＝，② ①、②解得a＝，b＝1. ∴所求的双曲线方程为－y2＝1. 7．(选修2－1 P80A组T4改编)α∈(0，π)，曲线C：x2＋y2cos α＝1的离心率e＝，则α＝_____.21教育网 [答案] π [解析] 由C：x2＋y2cos α＝1的离心率e＝知， 曲线C为双曲线． ∴α∈(，π)． 方程x2＋y2cos α＝1即为x2－＝1. 则a2＝1，b2＝， ∴c2＝a2＋b2＝1－＝，由e＝得e2＝3. 即＝3.∴＝3.即cos α＝－， ∴α＝. 8．(选修2－1 P62A组T6改编)经过点(－1,3)，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为_____．21·cn·jy·com [答案] －＝1 [解析] 设等轴双曲线方程为x2－y2＝λ， ∴λ＝(－1)2－32＝－8，所以双曲线方程为x2－y2＝－8，即－＝1. 9．(选修2－1 P62A组T4(3)改编)离心率为，且经过(－，2)的双曲线的标 ... ...