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课件网) 【课标要求】 1．掌握复数代数形式的四则运算． 2．会在复数范围内解方程． 5．3 复数的四则运算 一般地，对任意两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，有 加法：(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； 减法：(a＋bi)－(c＋di)＝ ； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝ . 即两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)的加、减、乘运算，可以先看作以i为字母的实系数多项式的相应运算来进行，再将i2＝－1代入，将 分别合并，就得到最后的结果． 自学导引 1． (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i 实部和虚部 分母实数化 自主探究 如何在复数范围内解方程x2＝－1 若z＋3－2i＝4＋i，则z等于 ( ) A．1＋i B．1＋3i C．－1－i D．－1－3i 解析 z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i. 答案 B 若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝ ( ) A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i 解析 z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A. 答案 A 预习测评 1． 2． 5－(3＋2i)＝_____. 答案 2－2i 3． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 即两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，由此可知： (1)两个复数的和(差)仍是一个确定的复数． (2)该法则可以推广到多个复数相加(减)． (3)复数加法满足交换律与结合律，即对任意的复数z1，z2， z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 要点阐释 1．复数代数形式的加、减法运算法则 复数代数形式的乘法运算法则 (1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部、虚部分别合并． (2)复数乘法的运算律 对于任意的z1，z2，z3∈C，有 z1·z2＝z2·z1(交换律)， (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)， z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)． 2． 题型一 复数的加减运算 计算(1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． 解 (1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i. 点评 (1)类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行． (2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后实部、虚部分别相加减． 典例剖析 【例1】 (1)若z－(1＋i)＝1＋i，则z＝_____. (2)计算(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝_____. 解析 (1)∵z－(1＋i)＝1＋i， ∴z＝(1＋i)＋(1＋i)＝2＋2i. (2)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i 答案 (1)2＋2i (2)－1－8i 1． 题型二 复数的乘除运算 (1)设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i，若z1z2∈R，则实数x等于 ( )． A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)复数(1＋2i)÷(3－i9)的值是_____． 解析 (1)z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi＋2i2 ＝(x－2)＋(x＋2)i.因为z1z2∈R， ∴x＋2＝0，∴x＝－2. 【例2】 计算(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)． 解：原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－4i－3i＋i2)＋(28－21i－4i＋3i2) ＝2(11－7i)＋(25－25i) ＝47－39i. 2． 求满足下列条件的复数z： (1)z2＝－7－24i； (2)(3－i)z＝4＋2i. 题型三 在复数范围内求解实系数一元二次方程问题 【例3】 点评 求复数方程的实系数问题应特别注意利用复数相等的充要条件． 3．求3＋4i的平方根． 设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝ ( )． A．1 B．2 C．4 D．8 [错解] 因为1的任何次幂都为1.故选A. 错因分析 对a(z)的理解不到位，未注意到z应为复数． [正解] ... ...
