2.2.2 双曲线的简单几何性质 1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝( )． A．－ B．－4 C．4 D． 2．已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )． A． B． C． D． 3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是( )． A．(－，) B．(－，) C．[－，] D．[－，] 4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )． A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 5．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )． A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 6．若点P在双曲线x2－＝1上，则点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是_____． 7．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_____． 8．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的标准方程是_____． 9．已知双曲线C：－y2＝1. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)已知点M的坐标(0,1)，P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记λ＝·，求λ的取值范围． 参考答案 1．A ∵曲线mx2＋y2＝1是双曲线，∴m＜0，排除选项C，D；将m＝－代入已知方程，变为y2－＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A. 2．B ∵a＞，∴＜1. ∴渐近线y＝x的倾斜角小于45°. ∴＝tan＝. ∴a＝，∴c＝＝2. ∴e＝＝＝. 3．C 由题意知，焦点F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C. 4．B 由方程组 得a＝2，b＝2. 又∵双曲线的焦点在y轴上， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 5．C 由题意知：2b＝2,2c＝2，则可求得a＝，则双曲线方程为－y2＝1，故其渐近线方程为y＝±x. 6．(0，] 双曲线的一条渐近线方程是3x－y＝0，由渐近线的性质，知当P点是双曲线的一个顶点时，P点到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)， 则P点到渐近线的距离的最大值为＝. 7． ∵双曲线的渐近线为y＝±x，且A(3,0)，F(5,0)， ∴直线BF的方程为y＝(x－5) (由于两条渐近线关于x轴对称，因此设与任何一渐近线平行的直线均可)． 代入双曲线方程，得－×(x2－10x＋25)＝1. 解得x＝，∴y＝－. 又∵|AF|＝c－a＝2， ∴S△AFB＝|AF|·|y|＝×2×＝. 8．－＝1 ∵点A与圆心O的连线的斜率为－， ∴过点A的圆的切线的斜率为4. ∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x. 设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)． ∵点A(4，－1)在双曲线上， ∴16－＝λ，∴λ＝. ∴双曲线的标准方程为－＝1. 9．解：(1)由－y2＝0，得所求渐近线方程为y－x＝0，y＋x＝0. (2)设点P的坐标为(x0，y0)， 则点Q的坐标为(－x0，－y0)． 所以λ＝·＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－x－y＋1＝－x＋2. ∵|x0|≥，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．2.2.1 双曲线的定义与标准方程 1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )． A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线 2．双曲线－＝1的焦距为( )． A．3 B．4 C．3 D．4 3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中为双曲线的是( )． A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 4．已知方程－＝1的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )． A．k＞5 B．k＞5，或－2＜k＜2 C．k＞2，或k＜－2 D．－2＜k＜2 5．设P为双曲线x2－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( ... ...
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