第04讲 全等三角形中的辅助线(教师版)A4

依米书院学科教师辅导讲义 全等三角形辅助线的作法 一．中点类辅助线作法 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ 是底边的中线)． 二．角平分线类辅助线作法 有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线； 2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形； 3．，这种对称的图形应用得也较为普遍． 三．截长补短类辅助线作法 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解． 题模一：角平分线类 例2.1.1如图，，平分，平分，点在上． ①探讨线段、和之间的等量关系． ②探讨线段与之间的位置关系． 【答案】见解析 【解析】①；②．证明如下： 在线段上取点，使，连结． 在和中 ∴ ∴， ∵ 而 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴， 例2.1.2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若AD=2DC，请你判断∠A与∠DBC之间的数量关系并证明你的结论 【答案】见解析 【解析】该题考查的是三角形的性质． 如图，过点D作于E． ∵BD平分， ∴， ∵，， ∴， 在△CBD和△EBD中， ， ∴△CBD≌△EBD（AAS）， ∴， ∵， ∴在Rt△ADE中，， ∴， ∴在Rt△ABC中， ， ∵， ∴， ∴． 例2.1.3如图，已知，，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，求证：． 【答案】见解析 【解析】延长CE，交BA的延长线于点F． ∵BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE， ∴△BEF≌△BEC，∴，． ∵，CE⊥BE，∴， 又∵，∴△ABD≌△ACF，∴．∴． 题模二：中点类 例2.2.1已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，，，试求AD的取值范围． 【答案】 【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等． 延长AD至E，使得，连结CE 在△ABD和△ECD中 ∴△ABD≌△ECD（SAS） ∴ ∴AE的取值范围为 例2.2.2如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证：． 【答案】见解析 【解析】解法一：如图所示，延长到，使，连接BF． 容易证明，从而，而，故． 注意到， ， 故，而公用，故， 因此． 解法二：如图所示，取的中点，连接． 因为是的中点，是的中点， 故是的中位线，从而， 由可得，故， 从而，． 例2.2.3如图，在四边形ABCD中，，，BD平分∠ABC，求证：． 【答案】见解析 【解析】延长BA至F，使，连FD △BDF≌△BDC（SAS），故， 又，故在等腰△BFD中， 故有 题模三：截长补短类 例2.3.1如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长． 【答案】见解析 【解析】如图所示，延长到使． 在与中，因为，，， 所以，故． 因为，，所以． 又因为，所以． 在与中，，，， 所以，则，所以的周长为． 例2.3.2阅读下列材料： 如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.求证：CD=AB. 小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=AE，∠E=∠D. 在△ADC与△CEA中， ∵ ∴△ADC≌△CEA， 得CD=AE=AB. 请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给 ... ...