如何求字母的取值范围 在《二次根式》一章中，根据含有字母的代数式或等式求字母的取值范围是常见的题型.那么如何求字母的取值范围呢？ 一、利用二次根式的定义 （ ≥0）中被开方数 ≥0求解 例1 二次根式 有意义，则 的取值范围是＿＿. 解析：∵ 有意义， ∴ ≥0，即 ≥0， ∴ ≤0， 又∵ ≥0， ∴ ＝0. ∴ ＝3. 二、利用式子中同时含有 与 求解 例2 若 ，则 的取值范围是＿＿. 解析：由条件知， 与 都有意义. ∴ . 解得 ＝4. 代入已知条件，得 ＞3. 三、利用二次根式的非负性（ ≥0）求解 例3 如果 成立，那么实数 的取值范围是（ ） A ≤0 B ≤3 C ≥－3 D ≥3 解析：由已知，得 . ∵等式左边是一个算术平方根，而算术平方根的结果是非负数， ∴等式右边 ≥0，解得 ≤3，选B. 四、利用公式 求解 例4 若 ，则 的取值范围是（ ） A ＞1 B ＜1 C ≥1 D ≤1 解析：∵ ， ∴ ≥0，解得 ≥1，选C. 五、利用公式 （ ≥0）求解 例5 若 ，则 的取值范围是（ ） A ＞5 B ＜5 C ≥5 D ≤5 解析：∵ ， ∴ ≥0，解得 ≥5，选C. 六、利用公式 ， 求解 例6 等式 成立的条件的是（ ） A ＜1 B ＞1 C ≤1 D ≥1 解析：∵ ， ∴ ，解得 ≥1，选D. 七、利用公式 ＝ （ ≥0， ＞0）求解 例7 若等式 成立，则实数 的取值范围是＿＿. 解析：∵ ， ∴ . ∴ ≥0. 八、综合运用公式求解 例8 如果 ，那么 的取值范围是＿＿. 析解：∵ ， ∴ ＝ . ∴ . ∴－2≤ ≤0.“三步六字”围攻二次根式的加减 二次根式加减时，必须先将所给式子中的每个 二次根式化成最简二次根式，，再将被开方数相同的二次根式进行合并，所以进行二次根式的加减运算时，可以分成“三步六字”围攻，智取其值. 一、运算过程解读 第一步：化———把每一个根式化简成“最简二次根式” 所谓“最简二次根式”就是二次根式必须符合如下的两个特征： （1）被开方数不含分母.如果被开方数是分式或分数，可以利用 ，然后再分母有理化得到 .如 . （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.也就是说应该把能开得尽方的因数或因式开出来.如 第二步：观察———观察被开方数相同的项. 在第一步化简的基础上，观察寻找出被开方数相同的项，将它们分别聚集在一起，特别要注意一定是化简后再识别，防止出现认为 与 ， 与 被开方数是不相同错误现象. 第三步：合并———合并同类二次根式（即被开方数相同二次根式） 与整式的合并同类项相似，合并同类二次根式时，只是把被开方数相同的二次根式外面的因数或因式进行加减，根式内部的被开方数（或式）保持不变. 二、典型案例剖析 【例1】（2009临沂） － － 分析：因为题中的二次根式都不是最简二次根式，因此必须对每个二次根式先进行化简. 解：原式= － － =3 － －2 =（3 －2 ）－ = － 【例2】（2009年新疆乌鲁木齐市）计算： ． 分析：本题是加减乘除的混合运算，根据运算顺序应当先算有括号内的，事实上括号内就是二次根式的加减，可用“三步六字”去解决. 解：原式 ． 【例3】（2009年烟台市）化简： 分析：本题是一个较为复杂的“二次根式的加减”运算问题，需要搞清两个性质，一个就是“任何不等于0的数的零次幂都等于1”，另一个就是二次根式的性质： ，还要掌握一个去括号法则：去掉括号和括号前的“－”时，括号内各项都要变号. 解： ． ． 创新展台： 【例4】（09年邵阳市）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝ ；……① ＝ ……② ＝ ＝ ———…③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化。 还可以用以下方法化简： ＝ ……④ 请用不同的方法化简 . 参照③式得 ＝_____； 参照 ... ...
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