第二章方程与不等式第9 节一元二次方程 ■考点1. 一元二次方程的概念、解法 1．一元二次方程的概念：只含有__ _个未知数，并且未知数的最高次数是_____，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是_____ 其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数． 2．一元二次方程的解法 (1)解一元二次方程的基本思想是__ __． (2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法． ①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__ __． ②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝__ __的形式，再利用直接开平方法求解．【出处：21教育名师】 ③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝__ _____． ■考点2. 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac. 1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__ __的实数根． 2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个_____的实数根． 3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)_____实数根． ■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系 1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__ __，x1x2＝__ __． 2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0. ■考点1：一元二次方程的概念、解法 ◇典例： 方程(m－1)xm2＋2m－1＋3x－m＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_____． 【分析】根据一元二次方程的定义就可解得． 解：根据一元二次方程的定义可得：m2＋2m－1＝2且m－1≠0 m=－3 （2014?湖南张家界）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ． 【分析】将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值． 解：根据题意，得 （﹣1）2+2×（﹣1）+k=0， 解得k=1； 故答案是：1． 解方程： （1）2（x－2）2－1＝0 （2） x2－2x－2＝0 （3） y2－7y＋10＝0 （4） 4x2－5x＋2＝0 解题点拨：解一元二次方程时对方程结构的观察很重要，可先考虑能否用直接开平方，分解因式法，若不行则用求根公式法．21cnjy.com 解：（1）（x－2）2＝， ∴x－2＝±，x＝2±， ∴x1＝2＋，x2＝2－ （2）a＝1，b＝－2，c＝－2，△＝b2－4ac＝4－4×1×（－2）＝12， ∴x＝＝＝1±， ∴x1＝1＋，x2＝1－． （3） （y－2）（y－5）＝0，y1＝2，y2＝5． （4）a＝4，b＝－5，c＝2， ∴△＝25－4×2×4＝－7＜0． ∴方程没有实数根． ◆变式训练 下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（ ） A．2x2＝0 B．4x2＝3y C．x2＋＝－1 D．x2＝(x－1)(x－2) 若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（ ） A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 解下列方程： （1）2x2＋2x＝1． （2）x2－4x＋10＝0． （3）x2－10x＋21＝0． ■考点2. 一元二次方程的根的判别式 ◇典例 （2016白贡）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】 A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1 【分析】根据关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，可知△≥0．从而可以求得m的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】 解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根， ∴△＝b2－4ac＝22－4×1×[－（m－2）]≥0， 解得m≥1．故选C． （2016聊城）如果关于x的一元二次方程kx2－3x －1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是 ．【版权所有：21教育】 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0 ... ...
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