2.3.1 等比数列 1．理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列． 2．掌握等比数列的通项公式及性质，能够用它解决有关等比数列的问题． 3．了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的定义 如果一个数列从_____起，每一项与它的前一项的比都等于_____，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母_____表示．定义表达式为_____． (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0. (2)对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒． (3)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比数列． (4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列． 【做一做1】下列数列中，等比数列的个数是_____． ①－1，－2，－4，－8；②1，－，3，－3；③1,1,1,1；④a，a，a，a. 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为_____．其中，a1，q均不为0. 等比数列的通项公式an＝a1qn－1的另外一种形式为an＝am·qn－m. 【做一做2】在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为( )． A．2 B．3 C．4 D．8 3．等比中项 如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即_____．等比数列中，除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项，即a ＝an－1an＋1，反过来，如果a，b同号，G＝或－，即G2＝ab，那么G是a，b的等比中项． (1)x，G，y成等比数列等价于“G2＝xy”(x，y均不为0)，可以用它来判断或证明三数成等比数列，要注意“x，G，y成等比数列”与“G＝”是不等价的，而应与“G＝±”等价． (2)当x，y同号时，x，y的等比中项有两个，异号时没有等比中项． (3)在任意两个非零实数x和y之间，也可以插入n个数使之成为等比数列．但要注意：在实数范围内，当xy＞0时，x，y之间可以插入任意个数；当xy＜0时，在x和y之间只能插入偶数个数使之成为等比数列． 【做一做3】若2＋，x,2－成等比数列，则x的值是( )． A．1 B．－1 C．±1 D．2 一、解读等比数列的主要性质 剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质．等比数列有以下性质： (1)两个等比数列的积仍为等比数列． (2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq. (3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积． (4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1. (5)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列． (6)当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an，ap成等比数列． (7)等比数列{an}中，若公比为q，则数列{λan}仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列；数列{}是公比为的等比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列． 二、求数列通项公式的方法 剖析：1.如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得a1，d(或q)，直接套用公式即可． 2．若已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an＝用此公式时我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an(n≥2)合为一个表达式． 3．对于形如an＋1＝ ... ...
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