第四章 图形的性质 第30节 与圆有关的计算■考点1.正多边形与圆 (1)正多边形：各边 ，各角 的多边形叫做正多边形． (2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．21教育网 (3)正n边形酌内角和= ；正n边形的每个内角度数= ；正n边形外角和= ；正n边形的每个外角度数= ．21cnjy.com 边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①. 特殊正多边形中各中心角、长度比： 中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△ a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:1:2 a:r:R=2: ：2 ■考点2.与圆有关的计算 1．弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及f，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）21·cn·jy·com 2．有关阴影部分面积的求法 (1)扇形的面积公式： S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）． (2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法． 3．圆柱的侧面展开图是 ，圆柱侧面积= ，圆柱全面积= ■考点1.正多边形与圆 ◇典例： （2015?成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）21·世纪*教育网 A．2， B．2，π C．， D．2， 【考点】 正多边形和圆； 弧长的计算． 【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．2-1-c-n-j-y 解：连接OB， ∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2， ==π， 故选D． 【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．21*cnjy*com ◆变式训练 （2015?杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ） A． B． C． D． ■考点2.与圆有关的计算 ◇典例 （2017?齐齐哈尔）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A．120° B．180° C．240° D．300° 【考点】圆锥的计算；几何体的展开图． 【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．2·1·c·n·j·y 解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度． 由题意得S底面面积=πr2， l底面周长=2πr， S扇形=3S底面面积=3πr2， l扇形弧长=l底面周长=2πr． 由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R， 故R=3r． 由l扇形弧长=得：2πr= 【来源：21·世纪·教育·网】 解得n=120°． 故选A． ◆变式训练 （2017?湘潭）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（ ） A．4π-4 B．2π-4 C．4π D．2π 一.选择题 （2017?株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 （2017?咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（ ） A．π B． C．2π D．3π （2017?衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是 ⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（ ） A．π B．10π C．24+4π D．24+5 ... ...
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