数学王子—高斯 素材

课件20张PPT。卡尔·弗里德里希·高斯 德国著名数学家、物理学家、 天文学家、大地测量学家。和牛顿、 阿基米德，被誉为有史以来的三大数 学家，是近代数学奠基者之一，18岁 的发现了质数分布定理和最小二乘法。 通过对足够多的测量数据的处理后， 可以得到一个新的、概率性质的测量结果。 在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功 得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）。其函数被命名 为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大 量使用。1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理 获博士学位。从1807年起担任哥廷根大学教授兼哥廷根天文台 台长直至逝世。高斯的肖像被印在从1989年至2001年流通的 10德国马克的纸币上。引例： 某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大 于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与 该班人数x之间的函数关系式是怎么样的呢？如果班级人数不是10的倍数时，y与x的函数关系式怎么表示呢？专题：高斯函数[x]又名“取整函数” 设 x 为任意实数，不超过x的最大整数称为 x的整数部分，记作 [x] ,称为高斯函数（或方括号函数）．称x －[x] 为 x 的小数部分，记作{x}． 　　例如，[0.25] = 0，[ ] = 7，[－3] = －3， {π}=0.14159，[－π]=－4，…由定义1可直接推得下列性质： 1 x = [x] + {x}； ０≤ {x} <1． 2 x－1< [x] ≤ x < [x]+1. 定义 1定理1(1) 若x ≤ y,则 [ x] ≤ [ y]; (2) 当 n∈Z时, [n+x] = n + [x],{n+x} = {x}.设x, y ∈R, ，则有(1)证：∵[ x] ≤ x ≤ y < [ y] ＋1 , ∴ [ x] ≤ [ y].严格不等式 !探索： [ x-y]与[ x]-[ y]之间的关系 证：因0≤ {x},{y} <1，故0≤{x}+{y}<2. 于是由x+y = [x] + [y]+{x}+{y}即知故[x] + [y] ≤[ x+y] ≤[x] + [y] ＋1．证毕．而0≤{x + y}是显然的.定义 !上述第一种等号,第二种小于号 !据此，又可得定理1.28 若x ∈R＋, n ∈Z＋,则从1到 x 所有整数中, n 的倍数有 [ ]个例1重新思考：带余数除法的表达式例1 求在 200到 500 的整数中， 7 的倍数有多少个？解∴所求7 的倍数有 71 － 28 = 43 （个）.定理1 设n≥2，则在 n! 的标准分解式中，记素因数 p 的指数α= fp (n!) , 则证：若p>n，则p | n!，即在 n! 的标准分解式中p的指数是零，此时(1)显然成立．现设 p≤n， 可知数列1, 2, …, n 中，p 的倍数共有[ ]个：p，2p，…，[ ] p．它们的积是注意 在定理中如果 p 不是质数，则结论不成立．比如 n = 15 ， p = 4 时. 例 数100! 末尾连续地有多少位全是零? 解：命题等价于求100!可被10的多少次方整除．因10=2× 5，而由定理1知100! 中2的指数大于5的指数，因而100! 中 5 的指数 α就是需求的100! 末尾全是零的位数．但推论 n!的标准分解式是100!=93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000定理4 设n是正整数，1≤k≤n-1，则若n是素数，则 例 试证埃尔米特(Hermite)恒等式：证明思路1: 凑整： 等式左边可以分成两部分：一是 x 的整数部分相加．二是由 x 的小数部分加上 i / n ( i =1, 2, …, n－1), 然后取整得到的．再与右边比较。 证明思路2：函数思想 ( 构造函数 f(x) 为等式右侧减左侧的差。 ) 证明过程当x是任意正实数时,即厄米特恒等式成立.证毕.当是任意正实数时,即厄米特恒等式成立.定理证毕.问题探讨1设n正整数，则 进一步问题探讨2设x和y是正无理数，证明：数列[x],[2x], …,[kx], …与[y],[2y], …,[ky], …联合构成了整个正整数集合，而且，两个数列中的数互不相同。证明思路： 1.在上述数列中有一个数等于给定的正整数n; 2.对于任意 ... ...