无穷集合论的创立 学案

无穷集合论的创立 一、自学目标：通过本专题的学习，了解无穷集合论的创立过程。 二、自学内容提炼 （一）问题思考 问题的引入———有限和无穷 香迪悖论 小说《香迪传》的讲述者香迪曾说自己用了两年时间来记录其生活中头两天的历史，然后香迪抱怨说，按照这种速度他永远也写不完自己的传记。在这一情节启发下，数学家罗素巧妙利用“无限未来”的概念提出了香迪悖论：如果香迪可以永远活下去，而且坚持不懈的写下去，那么，即是他的一生始终像开端那样充满需要记录的内容，他的传记也不会遗留任何部分。 罗素的论证大致如下：假定香迪生于1700年1月1日，而写作开始于1720年1月1日。其写作进程如下： 写作的年份 涵盖的事件 1720 1700年1月1日 1721 1700年1月2日 1722 1700年1月3日 …… …… 但是，每一天对应于一年，每一年对应于一天。对于任何一天，在未来都由指定的一年去记录它，绝无例外。“香迪的传记不会遗漏任何部分。” 罗素的香迪悖论在常识看来不可思议。事实上，当我们逐渐了解集合论中的无穷观点后，就可以明白这一论证是正确的，并无荒谬之处。 （二）知识梳理： 1、无穷集合的概念 无穷集合（元素个数 ）———一个“矛盾”的集合 数学家 考虑过无穷集合，他认为潜在的无穷（大）需要和真实的无穷（大）加以区别。 微积分———重建数学基础 微积分理论遇到严重的逻辑困难 对微积分基础的严密论证成为集合论产生的一个重要原因 2、康托尔 康托尔 集合论的创立者是 ，康托尔对集合所下的定义是一些确定的，不同东西的总体，这些东西使人能意识到并判断一个给定的东西是否属于这个总体。对康托尔来说，如果一个集合能够和它的一部分构成 ，它就是无穷的。当他把全体自然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西,这样他就肯定了实无穷。他定义了 ,可数集合（凡是能和自然数集一一对应的集合都称作可数集，也叫可列集）等概念。 过去数学家认为靠得住的只有 ，而无穷最多只是模模糊糊的一个记号。而康托尔把无穷分成许多“层次”。在最初阶段，康托尔主要证明了无穷之间也有差别，既存在可数的无穷，比如自然数集，也存在那种像实数集合那样不可数的无穷。 3、集合论的基础 在重建微积分理论的过程中， 是第一个朝着建立集合的明确理论方向采取了积极步骤的人，他维护了集合的存在，并强调了两个集合等价的概念，即两个集合元素间的一一对应关系。他注意到无限集合的部分或子集可以等价于整体，例如0到5之间的实数可以通过公式与0到12间的实数构成一一对应，虽然和第二个数集包含了第一个数集。但是他同样也遇到了一些问题在他看来属于悖论的，因此他认为这些不必深入研究。 我们知道，在有限集合中，两个元素是可以比较大小的，自然数集中的元素是同样可以比较大小的。在一般的无限集合中是怎样的情况呢？康托尔系统地研究了序数理论，提出了良序原理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素。 集合论本身出现矛盾，20世纪集合论和数学基础研究的出发点 （三）典例选讲 过去数学家认为靠得住的只有有限，而无穷最多只是模模糊糊的一个记号。而康托尔把无穷分成许多“层次”。在最初阶段，康托尔主要证明了无穷之间也有差别，既存在可数的无穷，比如自然数集，也存在那种像实数集合那样不可数的无穷。 我们不妨看一些有关这些无穷集合分类的最基本的证明，了解一些最基本的数学思想 。 首先康托尔证明了有理数是可数集 随后他又证明了实数是不可数集 随着实数不可列性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要 ... ...