2018年高考数学（文）备考命题角度5恒成立与存在性问题

2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度5：恒成立与存在性问题 1.已知a＜0，曲线f（x）=2ax2+bx+c与曲线g（x）=x2+alnx在公共点（1，f（1））处的切线相同． （Ⅰ）试求c-a的值； （Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）c-a=-1（2）a∈[-1，0）． 【解析】试题分析：（I）利用列方程组，即可求得的值.（II）构造函数，将不等式恒成立问题转化为恒成立问题来解.利用导数可求得函数最大值. (Ⅱ)设，则，恒成立， ∵， ∴， 法一：由，知和在上单调递减， 得在上单调递减， 又， 得当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，由题意知，得， 所以． 点睛：本题考查函数导数与切线，考查函数导数与不等式恒成立问题的求解策略.根据题目的已知条件“同一点的切线相同”也即是分成两个条件：切点相同、在切点的斜率也相同.根据这两个条件可以得到两个方程，但是一共有个参数，故无法解出个未知的参数，只能用作差的方法求得的值. 2.设函数 （1）求的单调区间； （2）若为整数，且当时， 恒成立，其中为的导函数，求的最大值. 【答案】（1）f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增（2）2 【解析】试题分析：（1）先求导数，根据a的大小讨论导函数是否变号：若a≤0，导函数恒非负，为单调增区间；若a＞0，导函数符号变化，先负后正，对应先减后增（2）分类变量得 ，再利用导数求最小值：在极小值点取最小值，根据极值定义得 及零点存在定理确定范围 ，化简最小值为，并确定其范围为（2,3） ，因此可得正整数的最大值. 试题解析：（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a， 若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增 若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0； 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0； 所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增 （2）由于a=1， 令，， 令，在单调递增， 且在上存在唯一零点，设此零点为，则 当时，，当时， ， 由，又 所以的最大值为2 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3.已知函数的极小值为0. （1）求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（1）由极小值的定义知道，只需要令，解得，且描述两侧的单调性；（2）原式子转化为在上恒成立；求导，研究导函数的正负即可，从而得到函数的单调性和最值即可。 （1）∵，令，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为， 由题意有，解得. （2）由（1）知不等式对任意恒成立，∵，∴在上恒成立，∵不妨设， ，则. 当时， ，故，∴在上单调递增，从而，∴不成立.当时，令，解得，若，即，当时， ， 在上为增函数，故，不合题意；若，即，当时， ， 在上为减函数，故，符合题意.综上所述， 的取值范围为. 点睛：本题考查导数在研究函数极值与最值的过程中的应用；第二问恒成立求参的问题，解决方法有如下几种：第一，可以考虑参变分离，再转化为函数最值问题；第二，直接含参讨论，研究函数的单调性和最值。 4.设函数 (为自然对数的底数），. （1）证明：当时， 没有零点； （2）若当时， 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）由，令， ，把没有零点，可以看作函数与的图象无交点，求得直线与曲线无交点，即可得到结论. （2）由题意，分离参数得，设出新函数，得出函数的单调性，求解函数的最小值，即可求解的取值范围. ... ...