【经典母题】已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是_____. 答案5 【迁移探究1】f(x)＝函数y＝2f2(x)－3f(x)＋m有5个零点求m范围？ 解：y＝2f2(x)－3f(x) +m=0,令则，作出函数y＝f(x)的图象. 若函数y＝2f2(x)－3f(x)＋m有5个零点则有2个零点且 根据二次方程根的分布得 答案 【迁移探究2】f(x)＝则满足2f2(x)－3f(x)＋1<0的x的范围 解：2f2(x)－3f(x)＋1<0则< f(x)<1, 作出函数y＝f(x)的图象. 当f(x)＝时，；当f(x)＝1时， 所以由图像可得或 答案或 规律方法 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性. (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解. (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 【变式训练】 1.函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为_____. 答案 ∪ 2.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上； ②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.( 0，1) C. D.(0，＋∞) 解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对称. 可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象， 使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可. 答案 B 3.已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是( ) A.f(x1)＋f(x2)<0 B.f(x1)＋f(x2)>0 C.f(x1)－f(x2)>0 D.f(x1)－f(x2)<0 解析 函数f(x)的图象如图所示： 且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数. 又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0. 答案 D 4.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 5已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，0) C.(－1，0) D.[－1，0) 解 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝. 因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根， ∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0. 答案D 6.函数f(x)= 若关于x的方程有五个不同的实数解求=（ ） A. 3 B. 5 C. 3a D. 5 a 解析：由2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0得f(x)= 或f(x)=a.由已知画出函数f(x)的大致图象,结合图象不难得知,要使关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,即要使函数y=f(x)的图象与直线y= 、y=a共有五个不同的交点,结合图象 分析不难得出, =5 故选B 答案B。 7.若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 即两函数的“孪生点”有：2对． 答案B． 8.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2,周期为T=4,原方程变形为,,所以只需画出，两个函数在区间(-2,6)的图像，根据图像求a的范围，图像如下，一定过（-1,0）点，当时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B,点C下面穿过就有4个零点，所以解得，选D. 答案D 9.f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为_____. 解析 f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，则 ... ...
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