【2018赢在中考】中考数学2轮专题解读与强化训练 专题十 代几综合问题

【2018赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题 10 代几综合问题 代几综合题是指以几何元素为背景构造未知量或以代数整数为背景形成几何关系的综合题。涉及知识与园、方程，函数与三角形、四边形等相关知识为主，在方法上把解直角三角形、图形的变换、相似等与代数计算融为一起；在能力考查上体现方程与函数思想、转换思想、数形结合思想、分类讨论等数学思想方法。代几综合题是中考压轴题。 常见类型有： （1）以函数为母图，结合三角形、四边形等图形知识 （2）以三角形、四边形为母图，结合函数 （3）函数与圆的综合题 当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标与线段长短的相互转换，同时要考虑分类讨论。特别注意分类的原则是不重不漏、最简。【来源：21·世纪·教育·网】 考向一　以二次函数为母图，结合三角形、四边形等图形知识 例1．（2017年常德市）如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点． （1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标； （2）求证：四边形PMDA是平行四边形； （3）求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标． 【思路点拨】（1）由已知点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，可求得其顶点N的坐标； （2）设P点横坐标为t，则可表示出C、D、M、A的坐标，从而可表示出PA和DM的长，由PA=DM可证得结论；21·世纪*教育网 （3）设P点横坐标为t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四边形PMDA为菱形，由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE=∠APM，可证得结论，在Rt△AOM中，用t表示出AM的长，再表示出PE的长，由相似比为可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得P点坐标． 【解题过程】解：（1）∵抛物线的对称轴是y轴， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+c， ∵点（2，2），（1，）在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=x2+1， ∴N点坐标为（0，1）； （2）证明：设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA=t2+1， ∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1）， ∴M（0，2）， ∵OC=t2+1，ON=1， ∴DM=CN=t2+1﹣1=t2， ∴OD=t2﹣1， ∴D（0，﹣t2+1）， ∴DM=2﹣（﹣t2+1）=t2+1=PA，且PM∥DM， ∴四边形PMDA为平行四边形； （3）解：同（2）设P（t， t2+1），则C（0， t2+1），PA=t2+1，PC=|t|， ∵M（0，2）， ∴CM=t2+1﹣2=t2﹣1， 在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM====t2+1=PA，且四边形PMDA为平行四边形， ∴四边形PMDA为菱形， ∴∠APM=∠ADM=2∠PDM， ∵PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴， ∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM， ∴∠PDE=∠APM，且=， ∴△DPE∽△PAM； ∵OA=|t|，OM=2， ∴AM=，且PE=2PC=2|t|， 当相似比为时，则=，即=，解得t=2或t=﹣2， ∴P点坐标为（2，4）或（﹣2，4）． 【名师点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中注意抛物线解析式的设法，在（2）中用t表示出DM的长是解题的关键，在（3）中证得四边形PMDA为菱形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大 考向二　以三角形、四边形为母图，结合函数 例2．（2017年黑龙江省佳木斯市）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=2-1-c-n-j-y （1）求点B的坐标； （2）求直线BN的解析式； （3 ... ...