第71题 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 I．题源探究·黄金母题 【例1】已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程． 【解析】将圆的方程写成标准形式，得， ∴圆心的坐标是，半径． 设直线的方程为，即， ∴圆心到直线的距离为 ，解得或，∴直线的方程为或，即或． 精彩解读 【试题来源】人教版A版必修二P127例2． 【母题评析】本题根据直线与圆相交所得弦长求相关参数直线方程，体现逆向思维的应用，方程思想的应用． 【思路方法】本题解答时主要是利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦长之间的勾股关系，通过建立方程来解决． 【例2】已知圆：，圆：，试判断圆与圆的位置关系． 【解析】解法一：圆与圆的方程联立得到方程组 ①-②得， ③ 由③得．把上式代入①并整理得．④ 方程④的判别式， 所以方程④有两个不等的实数根，即圆与圆相交． 解法二：把圆：，圆：，化为标准方程，得与． 圆的圆心是点，半径长； 圆的圆心是点，半径长． 圆与圆的连心线的长为， 圆与圆的半径长之和为，半径长之差为． 而，即， 所以圆与圆相交，它们有两个公共点． 【试题来源】人教版A版必修二P129例3． 【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的．对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题． 【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较． II．考场精彩·真题回放 【例1】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【解析】不妨设，则，且易知． 因为 ，故． 所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）．联立，得，，如图所示，结合图形知． 故填． 评注 也可以理解为点在圆的内部来解决，与解析中的方法一致． 【例2】【2016高考新课标II】圆的圆心到直线的距离为1，则 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得： ，解得，故选A． 【例3】【2016高考山东卷】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆与圆： 的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B． 【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用． 【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题．在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题． 【难点中心】 1．直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断． 若，则直线与圆相离； 若，则直线与圆相切； 若，则直线与圆相交． （2）代数法 2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种； 3．比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点． 【例4】【2016高考新课标III】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_____． 【答案】4 【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为．由平面几何知识知在梯形 ... ...
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