第72题 与圆有关的最值问题 I．题源探究·黄金母题 【例1】已知圆，直线为任意实数． （1）求证：直线恒过定点； （2）判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度． 【答案】（1）；（2），． 【解析】（1）直线的方程经过整理得．由于的任意性，于是有 解此方程组，得，即直线恒过定点． （2）因为直线恒过圆内一点，所以当直线经过圆心时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于时被截得的弦长最短．由，可知直线的斜率为，故当直线被圆截得的弦长最短时，直线的斜率为2，于是有，解得，此时直线的方程为，即。 又，最短弦长为。直线被圆截得的弦最短时的值为，最短长度是。 精彩解读 【试题来源】人教A版必修2P144B组T6． 【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，考查考生的分析问题、解决问题的能力． 【思路方法】结合圆的有关几何性质解题． II．考场精彩·真题回放 【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系中，点，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【解析】不妨设，则，且易知． 因为 ，故． 所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）．联立，得，，如图所示，结合图形知． 故填． 【例3】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】解法一（几何意义）：动直线整理得，则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而，故标准方程为． 解法二（代数法———基本不等式）： 由题意 ，当且仅当时，取“”．故标准方程为． 解法三（代数法———判别式）：由题意，设，则，，，解得，． 【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用． 【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题．在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题． 【难点中心】 1．直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断． 若，则直线与圆相离； 若，则直线与圆相切； 若，则直线与圆相交． （2）代数法 2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种； 3．比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点． 【例4】【2015高考广东卷】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）由得，所以圆的圆心坐标为； （2）设．因为点为弦中点，即，所以，即，所以线段的中点的轨迹的方程为； （3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括两端点），且，．又直线过定点， 当直线与圆相切时，由得． 又，所以当时，直线与曲线只有一个交点． III．理论基础·解题原理 考点一 与截距有关的圆的最值问题 形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． 考点二 与斜率有关的圆的最值问题 形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． 考点三 与距离有关的圆的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题 ... ...
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