专题08 解直角三角形的应用-备战2018年广东中考数学解答题之高分宝典（含答案解析）

一、解直角三角形 1．定义 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．（直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角） 2．直角三角形边角关系 （1）三边关系：勾股定理：a2+b2=c2； （2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C=90°； （3）边角关系：sinA=，cosA=，tanA=． 3．解法分类 （1）已知斜边和一个锐角解直角三角形； （2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形； （3）已知两边解直角三角形． 4．解直角三角形的几种类型及解法 （1）已知一条直角边和一个锐角（如a，∠A），其解法为：∠B=90°-∠A，，（或b=）； （2）已知斜边和一个锐角（如c，∠A），其解法为：∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA（或b=）； （3）已知两直角边a，b，其解法为：c=，由tan A=，得∠A，∠B=90°-∠A； （4）已知斜边和一直角边（如c，a)，其解法为：b=，由sin A=，求出∠A，∠B=90°-∠A． 【提醒】解直角三角形中已知的两个元素应至少有一条边，当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决． 二、解直角三角形的应用 1．仰角与俯角 在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 俯角． 2．坡角与坡度 坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点_____与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_____． 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： （1）把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形； （3）解数问题答案，从而得到实际问题的答案． 【提醒】在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决．解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数问题来解决． 核心考点 解直角三角形的应用 中考中考查解直角三角形的应用题型以解答题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点. 【经典示例】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如图所示，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测得A，B之间的距离为4米，tan α=1.6，tan β=1.2，试求建筑物CD的高度． 答题模板 第一步，求建筑物CD的高度关键是求DG的长度． 第二步，先利用三角函数用DG表示出GF，GE的长． 第三步，再利用EF=GE-GF构建方程求解，关键是要运用方程思想解题． 四步，查看关键点、易错点，注意解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须想办法构造一个直角三角形． 【满分答案】设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG=x米． 在Rt△DGF中，tan α=，即tan α=， 在Rt△DGE中，tan β=，即tan β=， ∴GF=，GE=，∴EF=-， ∴4=，解方程，得x=19.2，∴CD=DG＋GC=19.2＋1.2=20.4（米）． 答：建筑物CD高为20.4米． 【解题技巧】利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造，即把实际问题转化为数问题，并构造直角三角形，利用解直角三角形的知识去解决，解题时要认真审题，读懂题意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义，然后再作图解题． 模拟训练 美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量.如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°，若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：） 1．（2017· ... ...