21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 函数方程 稳妥实用 一、函数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解． 【例1】 设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围． 【解析】 问题可以变成关于m的不等式： 即(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立， 设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 则 即 解得
ln x2－ln x1 B．x1 D．x2g(x2)， ∴x2>x1，故选C． 2．已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)＜0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式＞1的解集为_____． 【答案】(－∞，0) 【解析】∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴g(0)＝g(4)＝1. 设f(x)＝， 则f′(x)＝＝. 又g′(x)－g(x)＜0，∴f′(x)＜0， ∴f(x)在R上单调递减． 又f(0)＝＝1，∴f(x)＞f(0)，∴x＜0. 3．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围． 【解析】∵t∈[，8]，∴f(t)∈. 原题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立， 当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2. 令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈. 问题转化为g(m)在m∈上恒大于0， 则即 解得x>2或x<－1. ∴x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞). 二、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用 三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解． 【例2】 (1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在上有解，则a的取值范围是_____． 【答案】(－1,1] 【解析】法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sin x， 设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈， 显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解． 因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝2－，且由x∈知sin x∈(0,1]，易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]． 法二：令t＝sin x， 由x∈，可得t∈(0,1]． 将方程变为t2＋t－1－a＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解， 设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示． 因此，f(t)＝0在(0,1]上有解等价于 即所以－1