【备考2018】高考数学真题精讲精练专题选修4－2矩阵与变换（2013-2017）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）： 选修4－2　矩阵与变换（答案） 知识回顾 1．矩阵的乘法规则 (1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则： [a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]． (2)二阶矩阵与列向量的乘法规则： ＝. 设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则 ①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ＝ 性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．21cnjy.com 例题精讲 考点一　几种特殊矩阵与变换 【变式训练1】已知矩阵A= ，设曲线C：（x﹣y）2+y2=1在矩阵A对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程． 21·世纪*教育网 【答案】解：设P（x0 ， y0）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y）， 则： ，即 ，解得 ， （注：用逆矩阵的方式求解同样给分） 又 ，∴ ，即 ， ∴曲线C′的方程为 2-1-c-n-j-y 【考点】几种特殊的矩阵变换 【解析】【分析】设P（x0 ， y0）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y），利用 ，推出 ，然后求解曲线C′的方程． 考点二　二阶逆矩阵与二元一次方程组 【变式训练2】若点A（2，2）在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B（﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为_____． 21*cnjy*com 【答案】 【考点】逆矩阵与二元一次方程组 【解析】【解答】解：由题意， = ∴ ， ∴sinα=1，cosα=0， ∴M= ∵ =1≠0， ∴M﹣1= ． 故答案为： ． 【分析】根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵． 考点三　求矩阵的特征值与特征向量 【变式训练3】选修4﹣2：矩阵与变换 给定矩阵A=， B=． （1）求A的特征值λ1 ， λ2及对应特征向量α1 ， α2 ， （2）求A4B． 【答案】解：（1）设A的一个特征值为λ， ∵|λE﹣A|=0， ∴由题意知：=0 ∴（λ﹣2）（λ﹣3）=0， λ1=2，λ2=3 当λ1=2时，由=2，得A属于特征值2的特征向量α1= 当λ2=3时，由=3，得A属于特征值3的特征向量α2= （2）由于B==+=α1+α2 故A4B=A4（α1+α2）=（24α1）+（34α2） =16α1+81α2=+=2·1·c·n·j·y 【考点】特征值、特征向量的应用 【解析】【分析】（1）由题意已知矩阵A=， 将其代入公式|λE﹣A|=0，即可求出特征值λ1 ， λ2 ， 然后解方程求出对应特征向量α1 ， α2； （2）将矩阵B用征向量α1 ， α2 ， 表示出来，然后再代入A4B进行计算； 真题精析 一、单选题 1.（2017 上海）关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式D为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】二阶矩阵 【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式： D= ． 故选：C． 【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 2.（2013 上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考点】二阶行列式与逆矩阵 【解析】【解答】解：根据 叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc， 由题意得， =ad﹣bc． 故选B． 【分析】根据 叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案． 二、填空题 3.（2013 上海）若 = ，x+y=_____． 【答案】0 【考点】二阶行列式的定义 【解析】【解答】解：∵ = ， ∴x2+y2=﹣2xy ∴（x+y）2=0 ∴x+y=0 故答案为0 【分析】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论． 4.(2015·上海）若线性方程组的增广矩阵为、解为，则c1-c2= _____ ． 【答案】16 【考点】变换、矩阵的相等，矩阵变换的性质 【解析】【解答】由题意解得：c1=2x+3 ... ...