第03讲导数-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第03讲：导数 1、（2011一试4）如果，，那么的取值范围是． 【答案】 【解析】不等式 等价于. 又,因为 所以是上的增函数，所以，故 Z)． 因为，所以的取值范围是． 2、（2009二试2）求证不等式：，，2，… ⑵．令，则， 因此． 又因为． 从而 ． 3、（2010一试9）已知函数，当时，，试求的最大值. 【解析】解法一： 由 得 . 所以， 所以. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 容易知道当时，. 从而当时， ， 即 ， 从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 4、（2010一试11）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 . 【解析】令，则，所以是严格递增的.又 ，故有唯一实数根. 所以 ，. 去掉上面等式两边相同的项，有， 这里，所有的与都是不同的. 不妨设，则， ， 矛盾.故满足题设的数列是唯一的. 【解析】证明:首先证明一个不等式 I+y o 事实上,令加()x-(+2,E()-m+x)-1+x 则对x>0,h()-11>0,8(x)1+x(+珍-0 于是hx)>(O)=0,g(x)>g(0)=0.在()中取x=-得 解法二:∫(x)=3x2+2bx+c.设g(x)=fx)+1,则当0≤x≤1时,0≤8(x)≤2 z+1 设z=2x-1,则 h(2)=g() 故数列an=3-2(H=12…是满足题设要求的数列 若存在两个不同的正整数数列a1