第02讲初等数论-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编+Word版含解析

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第02讲：初等数论 1、（2010一试8）方程满足的正整数解的个数是. 【答案】336675 易知 ，所以 ，即. 从而满足的正整数解的个数为. 2、（2011一试8）已知C，则数列中整数项的个数为． 【答案】15 【解析】C． 要使 为整数，必有均为整数，从而． 当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个． 当时，C，在C中，中因数2的个数为 ， 同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数． 当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数． 因此，整数项的个数为． 3、（2015一试8）对四位数,若,则称为类数,若,则称为类数,用与分别表示类数与类数的个数,则的值为 【答案】285 4、（2016一试8）设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足 则这样的有序数组的个数为 . 【答案】40 【解析】由柯西不等式知，，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列.于是问题等价于计算满足…的等比数列的个数.设等比数列的公比，且为有理数.记，其中为互素的正整数，且. 先考虑的情况. 此时，注意到互素，故为正整数. 相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即. 由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为 . 当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列. 综上可知，共有40个满足条件的有序数组. 5、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是. 【答案】75 6、（2009二试3）设， 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素． 【解析】证法一：对任意正整数，令．我们证明． 设是的任一素因子，只要证明：p/|． 若p/|k!，则由． 及，且pα+1/|k!，知且/|．从而p/|． 证法二：对任意正整数，令，我们证明． 设是的任一素因子，只要证明：p/|． 若p/|k!，则由 ． 即不整除上式，故p/|． 若，设使，但．．故由 ,及，且pα+1/|k!，知 且/|．从而p/|． 7、（2009二试4）在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，，，均大于．如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个使⑶． 求证：（ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列． （ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表 仍然具有性质． 【解析】（ⅰ）假设最小值，，2，3不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何．不妨设，，2，3．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，，2，3．另一方面，由于数表具有性质，在⑶中取，则存在某个使得．矛盾． （ⅱ）由抽届原理知，，，中至少有两个值取在同一列．不妨设，．由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是．同样，第二列中也必含某个，，2．不妨设．于是，即是数表中的对角线上数字． 下面证明数表 具有性质． 从上面的选法可知，．这说明 ，． 又由满足性质．在⑶中取，推得，于是．下证对任意的，存在某个，2，3使得．假若不然，则，，3且．这与的最大性矛盾．因此，数表满足性质． 下证唯一性．设有使得数表 具有性质，不失一般性，我们假定 ⑷ ． 由于，及（ⅰ），有．又由（ⅰ）知：或者，或者． 如果成立，由数表具有性质，则 ， ⑸， ． 由数表满足性质，则对于至少存在一个使得．由及⑷和⑹式知，，．于是只能有．类似地，由满足性质及可推得．从而． 8、（2010一试11）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 . 若存在两个不同的正整数数列和满足 ， 去掉上面等式两边相同 ... ...