2018高考数学（理）专题突破--02三角恒等变换与解三角形（教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 三角恒等变换与解三角形 【考点梳理】 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. (2)诱导公式：对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β； tan(α±β)＝. (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)； 变形：a＝2Rsin A，sin A＝， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. (2)余弦定理 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. (3)三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. 【题型突破】 题型一、三角恒等变换及应用 【例1】(1)若tan α＝2tan ，则＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则cos2－sin·cos－的值为_____. 【答案】(1)C　(2) 【解析】(1)＝＝ ＝＝＝＝3. (2)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，所以sin∠AOB＝sin＝， 又因为cos2－sincos－ ＝·－－ ＝－sin α＋cos α ＝sin＝. 【类题通法】 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小. 【对点训练】 (1)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则cos(α－β)＝_____. (2)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为_____. 题型二、利用正(余)弦定理进行边角计算 【例2】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1. (1)求B的大小； (2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积. 【解析】(1)由2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1， 得2(sin Asin C－cos Acos C)＝1，即cos(A＋C)＝－， ∴cos B＝－cos(A＋C)＝， 又0