第4章方程组 §4．1方程组的解法 4．1．1★已知关、的方程组 分别求出当为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解， 解析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结 为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零． 由①式得 ，③ 将③代入②得 ．④ 当，即且时， 方程④有唯一解，将此值代入③有 ， 因而原方程组有唯一一组解． 当，且时，即时，方程④无解，因此原方程组无解． 当且时，即时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有 无穷多组解． 评注对于二元一次方程组，（、、、为已知数，且与，与中都至少 有一个不为零）． （1）当时，方程组有唯一的解 （2）当时，原方程组有无穷多组解． （3）当时，原方程组无解． 4．1．2★对、的哪些值，方程组至少有一组解？ 解析由原方程可得．即 ． （1）当时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解． （2）当，时，方程有无穷多个解，从而原方程组也有无穷多组解． 综上所述，当且为任意数，或且时，方程组至少有一组解． 4．1．3★已知关于、的二元一次方程 ． 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 解析1根据题意，可分别令，代入原方程得到一个方程组： 解之得 将，代入原方程得 ． 所以对任何值 都是原方程的解． 评注取为的是使方程中，方程无项，可直接求出值；取的道理类似． 解析2可将原方程变形为 ． 由于公共解与无关，故有 解之得公共解为 4．1．4★★已知，且，，求的值． 解析已知代数式中含有、、三个字母，而等式只有2个，在一般情况下是不可能求出、、的具体值来的．因此，可以把已知条件中的视为常数，得到关于、的方程组，从而找出、与的关系，由此可求出其值． 把已知等式视作关于、的方程，视作常数，得关于、的方程组 解得 因为，所以，于是 ． 4．1．5★若、的值满足方程组 求的值． 解析由①+②得，即 ．③ 由③得：．④ 把④代入①得： ． 解得，把代人④得：，所以方程组解为 原式． 4．1．6★★当取何值时，关于、的方程组 有正整数解． 解析解方程组得所以，是被3除余2的整数． 由得．所以，，． 4．1．7★为何值时，方程组 （1）当，即时，原方程组有唯一解 （2）当，即时，原方程组无穷多组解； （3）由于，故方程组不可能无解． 4．1．8★若方程组的解满足，求的值． 解析将代入原方程组，得 所以，，． 4．1．9★甲、乙二人同时求的整数解． 甲求出一组解为而乙把中的7错看成1，求得一组解为求、的值． 解析 把，代入，得． 把，代入，得． 解方程组得 4．1．10★甲、乙两人解方程组 由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为乙看错了方程②中的而得到的解为 假如按正确的、计算，求出原方程组的解． 解析因为甲只看错了方程①中的，所以甲所得到的解应满足无的正确的方程②，即 ．② 同理，应满足正确的方程①，即 ．④ 解由③、④联立的方程组得 所以原方程组应为 解之得 4．1．11★★已知方程组无解，、是绝对值小于10的整数，求、的值． 解析因为方程组无解的条件是参照这个条件问题便可解决． 原方程组可化为因为方程组无解，所以有 ， 所以，且，因为，所以，，又因为是整数，所以， ，，0，1，2，3，相应地，-6，-3，0，3，6，9． 所以，当时，原方程组无解． 4．1．12★已知关于和的方程组 有解，求的值． 解析首先解方程组 得到，，代入原方程组中后两个方程，得到 ① 再解上面关于和的方程组，得到，，． 4．4．13★已知，，，求的值． 解析根据题意有 （①+②+③），得 ．④ ④①得 ，． ④②得 ，． ④③得 ，． 所以． 4．1．14★如果方程组的解是正 ... ...
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