§5.4 不等式的证明和应用 5.4.1★设、、的平均数为，、的平均数为，、的平均数为.若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D.不确定 解析 因为，，，，因为，所以，即，所以.故选B. 5.4.2★若、是正数，且满足，则与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D.不能确定 解析 因为 ， 所以 . 由于，，所以. 所以，即，.故选A. 5.4.3★若（、是实数），则的值一定是（ ）. A.正数 B.负数 C.零 D.整数 解析 因为 ， 且，，这三个数不能同时为，所以. 故选A. 5.4.4★设、是正整数，且满足，，则等于（ ）. A. B. C. D. 解析 由题设得 ，， 所以 . 因此，. 当时，由，得，这样的正整数不存在. 当时，由，得，所以. 所以，. 故选B. 5.4.5★★已知，、为互质的正整数，且，. （1）试写出一个满足条件的； （2）求所有满足条件的. 解析 （1）满足条件. （2）因为，、为互质的正整数，且，所以 ， 即 . 当时，，这样的正整数不存在. 当时，，故，此时. 当时，，故，此时. 当时，，与互质的正整数不存在. 当时，，故，此时. 当时，，与互质的正整数不存在. 当时，，故，4，5，此时，，. 当时，，故，此时. 所以，满足条件的所有分数为、、、、、、. 5.4.6★★已知：，，，…，，，和.求，，，…，，的值. 解析 将个不等式累加得 ，① 当且仅当个不等式取等号时，①式才成立. 由可以得到 ，② 由可以得到 ，③ … 由可以得到 ， 由②和③可推知.类似地，可以推知，所以，.同理可得. 所以. 5.4.7★★证明：（1）； （2）； （3）如果是正实数，那么； （4）设、是非负实数，则； （5）. 解析 （1）在的左右两边分别加上得到 ， 这个不等式说明：如果两个正数的和是一个常数，则乘积有最大值，如果两个正数的乘积是一个常数，则和有最小值. （2）在的左右两边分别加上得到 ， 这个不等式说明了两个数的和与平方和之间的不等式关系. （3）在（1）中令，得，这个不等式说明了一个正数与它倒数的和不小于. （4）由（3）可得 ， 这个不等式说明了两个数的和与倒数和之间的不等式关系. （5）由，，可以得到 . 5.4.8★★设，，，求证： . 解析 因为 ，，， 所以 . 5.4.9★★★设，，，求证： . 解析 因为 ， 而 ， 所以，. 5.4.10★★若正数、、满足，求证： . 解析 因为 ， 而 ， ， ， 所以 . 5.4.11★★（1）已知正数、、满足 ， 求证： ； （2）已知正数、满足，求证： ； （3）已知正数、满足，求证： . 解析 （1）由题设和平均不等式得 . （2）由题设和平均不等式得 . （3）由题设和平均不等式得 . 5.4.12★★（1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，求的最小值. 解析 （1）因为，当时等号成立，所以，欲求的最小值是. （2）因为 ， 当时等号成立，所以，欲求的最小值是. （3）因为 ， 当时等号成立，所以，欲求的最小值是. 5.4.13★★（1）若，求的最大值； （2）若，求的最大值. 解析 （1）因为 ， 当时等号成立，所以，欲求的最大值是. （2）因为 ， 当时等号成立，所以，欲求的最大值是. 5.4.14★★求代数式的最大值. 解析 我们有 ， 当时等号成立，故欲求的最大值为. 评注 这里，在第一个不等式中，用了 . 5.4.15★★★设正实数、、满足 ， 求的最小值. 解析 因为 ， 当，，时等号成立，故最小值为. 5.4.16★★★设，求的最小值. 解析 因为 ， 所以 ， 当，时等号成立. 所以，欲求的最小值是. 5.4.17★★设，，. 求证：. 解析 因为 ， 又，所以，即. 5.4.18★★已知、、是实数，且 ，. 求证：，，. 解析 因为 ，， 而 ， 所以 ， ， ， ， 解得 . 同理可证：，. 5.4.19★★★已知实数、、满足：，且 ，. 求证： . 解析 原不等式等价于 . 因为，， 又因为，所以 ， ， ， ， 解得 . 若，则，由，可得.于是 ， 矛盾！ 故 . 5.4.20★ ... ...
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