2018高考数学考点突破--01不等式的性质与一元二次不等式（教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 不等式的性质与一元二次不等式 【考点梳理】 1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b a－b>0； (2)a＝b a－b＝0； (3)ab ；(双向性) (2)传递性：a>b，b>c a>c；(单向性) (3)可加性：a>b a＋c b＋c；(双向性) a>b，c>d ；(单向性) (4)可乘性：a>b，c>0 ac bc； a>b，c<0 ac bc； a>b>0，c>d>0 ac bd；(单向性) (5)乘方法则：a>b>0 an bn(n≥2，n∈N)；(单向性) (6)开方法则：a>b>0 (n≥2，n∈N)；(单向性) (7)倒数性质：设ab>0，则a.(双向性) 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 4.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程 【考点突破】 考点一、不等式的性质及应用 【例1】(1)已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　) A.－>0 B．sin x－sin y>0 C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0 (2)已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围． [答案](1)C [解析]函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，xy>0 < －<0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0 xy>0 / ln(xy)>0 / ln x＋ln y＞0，故D错误． (2)由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b， f(－2)＝4a－2b. 设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b， 则解得 ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1). ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10， 即f(－2)的取值范围为[5,10]. 【类题通法】 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形． 2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． 3．由a|a＋b| 2．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　) A. B. C. D. 考点二、一元二次不等式的解法 【例2】解下列不等式： (1)3＋2x－x2≥0； (2)x2－(a＋1)x＋a<0. [解析] (1)原不等式化为x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0， 故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}. (2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0， 当a>1时，原不等式的解集为(1，a)； 当a＝1时，原不等式的解集为 ； 当a<1时，原不等式的解集为(a,1). [变式]将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集． [解析]原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以a(x－1)<0. 所以当a>1时，解集为1时，不等式的解集为. 【类题通法】 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数． (2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤： (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数 ... ...