第1讲 坐标系与参数方程 1.(2017合肥第一次教学质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为sin θ-ρcos2θ=0. (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标. 2.(2017成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sin θ=0. (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)已知点P(1,0).若点M的极坐标为,直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|的值. 3.(2017郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心为,半径为1的圆. (1)求曲线C1的普通方程,C2的直角坐标方程; (2)设M为曲线C1上的点,N为曲线C2上的点,求|MN|的取值范围. 4.(2017课标全国Ⅲ,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径. 答案精解精析 1.解析 (1)∵sin θ-ρcos2θ=0, ∴ρsin θ-ρ2cos2θ=0, 即y-x2=0. (2)将代入y-x2=0,得+t-=0,即t=0, 从而,交点坐标为(1,), ∴交点的一个极坐标为. 2.解析 (1)∵直线l的参数方程为(t为参数), ∴直线l的普通方程为y=tan α·(x-1). 由ρcos2θ-4sin θ=0得ρ2cos2θ-4ρsin θ=0,即x2-4y=0. ∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y. (2)∵点M的极坐标为,∴点M的直角坐标为(0,1). ∴tan α=-1,直线l的倾斜角α=. ∴直线l的参数方程为(t为参数). 代入x2=4y,得t2-6t+2=0. 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2. ∵Q为线段AB的中点, ∴点Q对应的参数值为==3. 又点P(1,0),则|PQ|==3. 3.解析 (1)消去参数φ可得C1的普通方程为+y2=1. 曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3), ∴C2的直角坐标方程为x2+(y-3)2=1. (2)设M(2cos φ,sin φ),曲线C2的圆心为C2,则|MC2|== = =. ∵-1≤sin φ≤1,∴|MC2|min=2,|MC2|max=4. 根据题意可得|MN|min=2-1=1,|MN|max=4+1=5, 故|MN|的取值范围是[1,5]. 4.解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0). (2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 联立 得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=, 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为. 第1讲 坐标系与参数方程 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识. 热点一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 例1 (2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已知点A，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB最短时，求点B的极坐标． 解 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A的直角坐标为(0,2)，直线l的直角坐标方程为x＋y＝0. 当线段AB最短时，点B为直线x－y＋2＝0与直线l的交点， 解得 所以点B的直角坐标为(－1,1)． 所以 ... ...
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