21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 变量间的相关关系与统计案例 【考点梳理】 1．回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是散点图；统计量有相关系数与相关指数． (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系． 2．线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，则＝＝，＝－.其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距． 3．残差分析 (1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为i＝yi－i＝yi－xi－，i＝1,2，…，n，i称为相应于点(xi，yi)的残差． (2)相关指数：R2＝1－. 4．独立性检验 (1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则随机变量K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)． 【考点突破】 考点一、相关关系的判断 【例1】(1)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( ) A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 (2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为_____． ①x，y是负相关关系； ②在该相关关系中，若用y＝c1拟合时的相关指数为R，用＝x＋拟合时的相关指数为R，则R＞R； ③x，y之间不能建立线性回归方程． [答案] (1)C (2)①② [解析] (1)因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝y＋，>0，则z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关． (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1拟合比用＝x＋拟合效果要好，则R＞R，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误． 【类题通法】 1.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关，若点散布在左上角到右下角的区域，则负相关． 2．利用相关系数判定，当|r|越趋近于1，相关性越强． 当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强． 【对点训练】 1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [答案]D [解析]由正负相关性的定义知①④一定不正确． 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现A， ... ...
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