2017—2018赣州市期末考试试题（理）参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C D C A B B D A C 12．解析：由题设可记，则， 显然在上单调递增，又， 故存在，使得， 当，， 当，， 所以，因为， 所以，记，知， 故，故得，又，故选C． 二．填空题 13．； 14．； 15．； 16．； 16．解析：点在抛物线的准线上，设直线，，则 联立 进而得： 易得以为切点的方程为：，处的切线方程为： 解得： 当时. 三．解答题 17．解：（1）由…………① 当时，，得 ………1分 当时，…………② ………2分 ①②得： ………3分 即且 ………5分 故数列是首项为，公比为等比数列． （2）由（1）知： ………7分 故 ………9分 ………10分 ． ………12分 18．解：（1）(法一)连接交于点，连接 由分别是棱中点，故点为的重心 ………2分 在中，有 ………3分 ，又平面 ………4分 平面 ………5分 （法二）取的中点，连接 由是棱的中点，为的中点， 为的中位线，即平面 ………1分 又为棱的中点，为的中点 由，由，且为直三棱柱 ，进而得 ………2分 ，即平面 ………3分 又 平面平面 ………4分 又平面 平面 ………5分 （2）由为直三棱柱 平面，取的中点，连接 是棱的中点，，即平面 为等边三角形 为的中点且 ………6分 故以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 ，， ………7分 设平面的法向量为 则：，不妨取，则 ………9分 设平面的法向量为 则：，不妨取，则 ………10分 记二面角为 故二面角的余弦值为．………12分(取负值扣1分) 19．解：（1）依题意：，， ，. 所以年入流量不低于120的概率为 ………2分 由二项分布，在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率为： ………5分 （2）记水电站的总利润为（单位：万元） ①若安装2台发电机的情形： 3500 10000 ………8分 ②若安装3台发电机的情形： 2000 8500 15000 ………11分 因为，故应安装2台发电机． ………12分 20．解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为， 由题意得： ………3分（列到前两个方程每个给1分） 所以椭圆的方程为： ………4分 (2)设直线的方程为，， 联立 ………5分 由是上方程的两根可知： ………6分 ………7分 直线的方程为： 直线的方程为： 得： ………8分 ………9分 把代入得： ………11分 即，故点恒在定直线上． ………12分 （由对称性可知，若存在定直线，则该直线应垂直轴，故也可由特殊位置———当直线斜率不存在时，探究得出该直线方程，给2分） 21．解：（1）由，得：………1分 由 ………2分 进而得， 故当时，；当时，； 所以函数在单调递减，在单调递增，………3分 要使函数在有两个零点，则 ………4分 且………5分 （用分离参数，转化为数形结合，可对应给分） （2）由（1），我们不妨设 欲证，即证 又函数在单调递增，即证 ………6分 由题设，从而只须证 ………7分 记函数， ………8分 则， 记，得 ………9分 因为，所以恒成立，即在上单调递增，又 所以在上恒成立，即在单调递减 ………10分 所以当时，，即 ………11分 从而得． ………12分 上恒成立，即在单调调递 ………10分 所以当时，，即 ………11分 从而得． ………12分 22．解：（1）由直线已知直线（为参数）， 消去参数得： ………2分 曲线（为参数） 消去参数得：. ………4分 （2）设 将直线的参数方程代入得： ………6分 由韦达定理可得： ………7分 结合图像可知， 由椭圆的定义知： ………8分 . ………10分 23．解：（1）由得等价于 即或或 ………3分（每解出一组不等式给1分） 即或………4分 故不等式的解集为； （用绝对值几何意义解同样给分） （2）由得：………5分 由题意可得： 设直线与交于两点 不妨设： ………7分 所以封闭图形 ... ...
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