21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 坐标系 【考点梳理】 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换． 2．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取 方向)，这样就建立了一个极坐标系． 图1 (2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角． 3．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 圆心为(r,0)，半径为r的圆 圆心为，半径为r的圆 5.直线的极坐标方程 (1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是 ． (2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a. (3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为 ． 【考点突破】 考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换 【例1】将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． [解析] (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1得x2＋2＝1， 故曲线C的方程为x2＋＝1. (2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝， 于是所求直线方程为y－1＝， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝. 【类题通法】 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解． 2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化． 【对点训练】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： (1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标； (2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程． 考点二、极坐标与直角坐标的互化 【例2】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． [解析] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为. 【变式1】若本例条件不变，求直线C1与C2的交点的极坐标． [解析]联立方程 解得θ＝且ρ＝－2. 所以交点的极坐标为. 【变式2】本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程． [解析]因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称， 设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上， 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. 故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0. 【类题通法】 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0) ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
